Terminale Spé Maths / Chapitre 10 : Vecteurs, droites et plans de l'espace / Annales du bac

Bac 2026, Métropole : exercice 2

16 juin 2026 · jour 1 · 4 points Vrai / Faux

Chapitre 10 : Vecteurs, droites et plans de l'espace

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(\mathrm{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$ .

On considère :
- la droite $(d)$ dont une représentation paramétrique est :
$\begin{cases} x=t \\ y=-1,5-t \\ z=2-2 t \end{cases}\text { où } t \in \mathbb{R};$
- les points A $(3 ; 0 ; 2)$ et B $(2 ; 1 ;-3)$
- le plan $(\mathcal{P})$ d'équation : $-x+y-5 z-0,5=0$ .
1. Affirmation 1 :
  
  Le plan $(\mathcal{P})$ est orthogonal à la droite (AB), et passe par le milieu du segment [AB].
2. Affirmation 2 :
  
  Les droites $(d)$ et (AB) sont sécantes.
3. On considère le point C de coordonnées $(1,5 ; -3 ; -1)$ .
  
  Affirmation 3 :
  
  La mesure de l'angle $\widehat{\mathrm{ACB}}$ , arrondie à $10^{-1}$ , est égale à $70,5$  °.
Titouan et Clotilde participent à un escape game. Ils se retrouvent dans une salle possédant deux portes de sortie, A et B, chacune protégée par un digicode équipé de 8 touches portant des symboles différents :
- le digicode de la porte A utilise un code de 3 symboles différents devant être saisis dans l'ordre
- celui de la porte B utilise un code de 4 symboles différents qui peuvent être saisis dans n'importe quel ordre.
N'étant pas parvenus à obtenir d'indices, ils décident de procéder au hasard à la saisie des codes.

Clotilde choisit un code pour la porte A, et Titouan choisit un code pour la porte B.

On considère que les choix des codes sont équiprobables.

Affirmation 4 :

Titouan a plus de chances d'ouvrir sa porte que Clotilde.

Voir le corrigé

Affirmation 1. L'affirmation est vraie.

Calculons les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ , coordonnée par coordonnée :

\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}2-3\\1-0\\-3-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\1\\-5\end{pmatrix}.

Le plan $(\mathcal{P})$ a pour équation $-x+y-5z-0{,}5=0$ : le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}-1\\1\\-5\end{pmatrix}$ est un vecteur normal de $(\mathcal{P})$ .

On a $\overrightarrow{AB}=\vec{n}$ , donc $\overrightarrow{AB}$ est normal à $(\mathcal{P})$ : la droite $(AB)$ est orthogonale au plan $(\mathcal{P})$ .

Soit $I$ le milieu de $[AB]$ . Ses coordonnées sont

I\left(\dfrac{3+2}{2}\,;\,\dfrac{0+1}{2}\,;\,\dfrac{2+(-3)}{2}\right)=\left(\dfrac52\,;\,\dfrac12\,;\,-\dfrac12\right).

On vérifie si $I$ appartient à $(\mathcal{P})$ :

-\dfrac52+\dfrac12-5\times\left(-\dfrac12\right)-0{,}5=-2{,}5+0{,}5+2{,}5-0{,}5=0.

Les coordonnées de $I$ vérifient l'équation de $(\mathcal{P})$ , donc $I\in(\mathcal{P})$ .

Donc $(\mathcal{P})$ est orthogonal à $(AB)$ et passe par le milieu de $[AB]$ : l'affirmation 1 est vraie.

Affirmation 2. L'affirmation est fausse.

Un vecteur directeur de $(d)$ est $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\-1\\-2\end{pmatrix}$ (coefficients de $t$ dans la représentation paramétrique).

Un vecteur directeur de $(AB)$ est $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-1\\1\\-5\end{pmatrix}$ .

Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires : si $\overrightarrow{AB}=k\,\vec{u}$ , la première coordonnée donnerait $k=-1$ , et la troisième donnerait $-5=-1\times(-2)=2$ , ce qui est faux. Donc les droites ne sont pas parallèles.

Une représentation paramétrique de $(AB)$ , passant par $A$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{AB}$ , est

\begin{cases}x=3-s\\ y=s\\ z=2-5s\end{cases}\qquad(s\in\mathbb{R}).

Les droites sont sécantes si et seulement si le système suivant d'inconnues $(t,s)$ admet une solution :

\begin{cases}t=3-s\\ -1{,}5-t=s\\ 2-2t=2-5s\end{cases}

On remplace $t=3-s$ dans la deuxième équation :

-1{,}5-(3-s)=s\Longleftrightarrow -4{,}5+s=s\Longleftrightarrow -4{,}5=0,

ce qui est impossible.

Le système n'a donc pas de solution : les droites $(d)$ et $(AB)$ n'ont aucun point commun.

Donc $(d)$ et $(AB)$ ne sont pas sécantes : l'affirmation 2 est fausse (elles ne sont ni parallèles ni sécantes, elles ne sont pas coplanaires).

Affirmation 3. L'affirmation est vraie.

Calculons les vecteurs $\overrightarrow{CA}$ et $\overrightarrow{CB}$ avec $C(1{,}5\,;-3\,;-1)$ :

\overrightarrow{CA}\begin{pmatrix}3-1{,}5\\0-(-3)\\2-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1{,}5\\3\\3\end{pmatrix},\qquad \overrightarrow{CB}\begin{pmatrix}2-1{,}5\\1-(-3)\\-3-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0{,}5\\4\\-2\end{pmatrix}.

Produit scalaire :

\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=1{,}5\times 0{,}5+3\times 4+3\times(-2)=0{,}75+12-6=6{,}75.

Normes :

CA=\sqrt{1{,}5^{2}+3^{2}+3^{2}}=\sqrt{2{,}25+9+9}=\sqrt{20{,}25}=4{,}5,\qquad CB=\sqrt{0{,}5^{2}+4^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{0{,}25+16+4}=\sqrt{20{,}25}=4{,}5.

On a par ailleurs $\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=CA\times CB\times\cos\widehat{ACB}$ , donc

\cos\widehat{ACB}=\dfrac{6{,}75}{4{,}5\times 4{,}5}=\dfrac{6{,}75}{20{,}25}=\dfrac13.

L'angle $\widehat{ACB}$ est compris entre $0\,\text{°}$ et $180\,\text{°}$ et la fonction arccosinus donne

\widehat{ACB}=\arccos\dfrac13\approx 70{,}5\,\text{°}

(valeur arrondie à

10^{-1}

, obtenue à la calculatrice en mode degrés).

Donc la mesure de l'angle $\widehat{ACB}$ , arrondie à $10^{-1}$ , est bien $70{,}5\,\text{°}$ : l'affirmation 3 est vraie.

Affirmation 4. L'affirmation est vraie.

Dans chaque cas, les codes sont équiprobables : la probabilité de réussir est l'inverse du nombre de codes possibles.

Porte A (Clotilde). Un code est une liste ordonnée de $3$ symboles différents choisis parmi $8$ : il y a $8$ choix pour le premier symbole, $7$ pour le deuxième, $6$ pour le troisième. Le nombre de codes est

8\times 7\times 6=336.

La probabilité que Clotilde ouvre sa porte est donc

\dfrac{1}{336}

Porte B (Titouan). Un code est une partie de $4$ symboles différents choisis parmi $8$ , l'ordre de saisie n'important pas. Le nombre de codes est

\binom{8}{4}=\dfrac{8\times 7\times 6\times 5}{4\times 3\times 2\times 1}=70.

La probabilité que Titouan ouvre sa porte est donc

\dfrac{1}{70}

Comme $70<336$ , on a $\dfrac{1}{70}>\dfrac{1}{336}$ .

Donc Titouan a plus de chances d'ouvrir sa porte que Clotilde : l'affirmation 4 est vraie.

Points clés attendus

Reconnaître un vecteur normal à partir de l'équation cartésienne, puis vérifier que le milieu de $[AB]$ vérifie l'équation du plan.
Pour deux droites, étudier d'abord la colinéarité des vecteurs directeurs, puis résoudre le système : un système sans solution prouve qu'elles ne sont pas sécantes.
Calculer les vecteurs coordonnée par coordonnée, utiliser le produit scalaire et les normes pour obtenir le cosinus de l'angle, puis la valeur arrondie demandée.
Distinguer arrangement (ordre important, porte A) et combinaison (ordre sans importance, porte B), et comparer les probabilités $\dfrac1{336}$ et $\dfrac1{70}$ .
Justifier chaque réponse : une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.

Comment t'entraîner

Chronomètre-toi, rédige sur papier comme le jour du bac, puis seulement après regarde le cours. Si tu bloques sur une question, écris « on admet que… » et passe à la suivante.

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Chapitre 10 : Vecteurs, droites et plans de l'espace : le cours · exercices type bac corrigés

Source : sujet officiel de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat, session 2026 (Métropole, 16 juin 2026 (jour 1)), ministère de l'Éducation nationale. Énoncé mis en forme pour le web à partir du tapuscrit de l'APMEP (François Kriegk) ; figures issues des fichiers de l'APMEP. En cas de doute sur un détail, le sujet officiel fait foi.

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