Bac 2025, Polynésie : exercice 2

Question 1.

L'avion Bêta touche le sol lorsque sa cote est nulle, c'est-à-dire pour la valeur de $t$ telle que $z=0$ (le sol est le plan d'équation $z=0$).

On résout :

On reporte cette valeur dans les deux autres équations de la représentation paramétrique de $d_{\mathrm{B}}$ :

Donc, s'il ne dévie pas de sa trajectoire, l'avion Bêta touche le sol au point $\mathrm{S}\left(\dfrac{11}{4}\,;\,-\dfrac{9}{4}\,;\,0\right)$.

Réponse : $\mathrm{S}\left(\dfrac{11}{4}\,;\,-\dfrac{9}{4}\,;\,0\right)$.

Question 2. a)

La droite $d_{\mathrm{A}}$ est la droite passant par $\mathrm{A}(-7\,;\,1\,;\,7)$ et de vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix}2\\-1\\-3\end{pmatrix}$.

Un point $M(x\,;y\,;z)$ appartient à $d_{\mathrm{A}}$ si et seulement s'il existe un réel $s$ tel que $\overrightarrow{\mathrm{A}M}=s\,\vec{u}$.

Donc une représentation paramétrique de $d_{\mathrm{A}}$ est :

Réponse : $x=-7+2s$, $y=1-s$, $z=7-3s$, $s\in\mathbb{R}$.

Question 2. b)

Les deux avions ne peuvent entrer en collision que si leurs trajectoires ont un point commun. Cherchons si les droites $d_{\mathrm{A}}$ et $d_{\mathrm{B}}$ ont un point commun.

Un point commun correspond à un couple $(s\,;t)$ vérifiant le système :

La deuxième équation donne $s=6-t$.

On reporte dans la première équation :

Alors $s=6-\dfrac{16}{7}=\dfrac{26}{7}$.

Vérifions la troisième équation avec ces valeurs.

Membre de gauche : $7-3\times\dfrac{26}{7}=\dfrac{49-78}{7}=-\dfrac{29}{7}$.

Membre de droite : $11-4\times\dfrac{16}{7}=\dfrac{77-64}{7}=\dfrac{13}{7}$.

Ces deux nombres sont différents : le système n'a pas de solution.

Les vecteurs directeurs $\vec{u}\begin{pmatrix}2\\-1\\-3\end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}5\\1\\-4\end{pmatrix}$ ne sont pas colinéaires (leurs deux premières coordonnées ne sont pas proportionnelles, car $\dfrac{5}{2}\neq\dfrac{1}{-1}$), donc les droites ne sont pas parallèles. N'ayant aucun point commun, elles ne sont pas non plus confondues.

Donc les droites $d_{\mathrm{A}}$ et $d_{\mathrm{B}}$ n'ont aucun point commun : les trajectoires ne se coupent pas, et les deux avions ne peuvent pas entrer en collision.

Réponse : non, les deux avions ne peuvent pas entrer en collision.

Question 3. a)

Il s'agit de trouver une valeur de $s$ pour laquelle le point de $d_{\mathrm{A}}$ est $\mathrm{E}(-3\,;\,-1\,;\,1)$.

Pour $s=2$ :

Donc le point de $d_{\mathrm{A}}$ de paramètre $s=2$ est $(-3\,;\,-1\,;\,1)=\mathrm{E}$.

Donc l'avion Alpha passe par la position $\mathrm{E}$.

Question 3. b)

Le plan $P_{\mathrm{E}}$ est perpendiculaire à la droite $d_{\mathrm{A}}$, donc le vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix}2\\-1\\-3\end{pmatrix}$ de $d_{\mathrm{A}}$ est un vecteur normal à $P_{\mathrm{E}}$.

Une équation cartésienne de $P_{\mathrm{E}}$ est donc de la forme :

Le point $\mathrm{E}(-3\,;\,-1\,;\,1)$ appartient à $P_{\mathrm{E}}$, donc ses coordonnées vérifient l'équation :

Donc une équation cartésienne de $P_{\mathrm{E}}$ est bien :

Question 3. c)

Montrons d'abord que $\mathrm{F}(-1\,;\,-3\,;\,3)$ appartient à $d_{\mathrm{B}}$.

Pour $t=2$ :

Donc $\mathrm{F}\in d_{\mathrm{B}}$.

Montrons ensuite que $\mathrm{F}$ appartient à $P_{\mathrm{E}}$ :

Donc $\mathrm{F}\in P_{\mathrm{E}}$.

Montrons enfin que $\mathrm{F}$ est le seul point commun. Un point de $d_{\mathrm{B}}$ de paramètre $t$ appartient à $P_{\mathrm{E}}$ si et seulement si :

On développe :

Cette équation a pour unique solution $t=2$, donc la droite $d_{\mathrm{B}}$ coupe le plan $P_{\mathrm{E}}$ en un seul point, qui est le point de paramètre $t=2$, c'est-à-dire $\mathrm{F}$.

Donc $\mathrm{F}(-1\,;\,-3\,;\,3)$ est le point d'intersection du plan $P_{\mathrm{E}}$ et de la droite $d_{\mathrm{B}}$.

Question 3. d)

On calcule les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{\mathrm{EF}}$ :

Le repère est orthonormé, donc :

L'unité des axes est $1$ km, donc $\mathrm{EF}=2\sqrt{3}$ km.

On calcule la valeur approchée : $2\sqrt{3}\approx 3{,}4641$ km, soit $3\,464{,}1$ m.

À $1$ m près, on obtient bien $3\,464$ m.

Réponse : $\mathrm{EF}=2\sqrt{3}$ km $\approx 3\,464$ m.

Question 4.

Convertissons la distance de sécurité en mètres :

Si les avions sont en $\mathrm{E}$ et $\mathrm{F}$ au même instant, leur distance est $\mathrm{EF}\approx 3\,464$ m.

Or $3\,464<5\,556$.

Donc, si les avions Alpha et Bêta sont respectivement en $\mathrm{E}$ et $\mathrm{F}$ au même instant, la distance de sécurité n'est pas respectée.

Réponse : non, la distance de sécurité n'est pas respectée ($3\,464$ m $<5\,556$ m).

Points clés attendus

• Pour le point d'impact au sol, utiliser la condition $z=0$ puis reporter la valeur de $t$ dans les autres équations.

• Pour l'absence de collision, résoudre le système et constater qu'il est incompatible : les droites n'ont aucun point commun.

• Vecteur normal au plan : le vecteur directeur de la droite perpendiculaire, puis détermination de la constante avec les coordonnées de $\mathrm{E}$.

• Pour le point d'intersection, vérifier l'appartenance à la droite et au plan, et justifier l'unicité (équation en $t$ à une seule solution).

• Calculer $\mathrm{EF}$ dans un repère orthonormé, convertir en mètres et comparer à $3\times 1\,852$ m.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.