Bac 2025, Polynésie : exercice 1

Partie A

Question 1.

Traduisons les données de l'énoncé en probabilités.

En 2020, $17\,\%$ de la population habite en zone rurale et $83\,\%$ en zone urbaine, donc :

Parmi les enfants vivant en zone rurale, $6{,}2\,\%$ sont atteints d'allergie alimentaire, donc :

Enfin, $9\,\%$ des enfants sont atteints d'allergie alimentaire, donc :

L'arbre pondéré comporte deux branches issues de la racine : $R$ pondérée par $0{,}17$ et $\overline{R}$ pondérée par $0{,}83$.

De $R$ partent deux branches : $A$ pondérée par $0{,}062$ et $\overline{A}$ pondérée par $0{,}938$.

De $\overline{R}$ partent deux branches $A$ et $\overline{A}$ dont les pondérations seront déterminées à la question 2. c).

Donc l'arbre est construit avec ces données et complété par la suite.

Question 2. a)

Les évènements $R$ et $A$ sont tels que $P(R)\neq 0$. D'après la formule des probabilités composées :

On obtient :

Donc la probabilité que l'enfant interrogé habite en zone rurale et soit atteint d'allergie alimentaire est $0{,}01054$.

Réponse : $P(R\cap A)=0{,}01054$.

Question 2. b)

Les évènements $R$ et $\overline{R}$ forment une partition de l'univers : ils sont incompatibles et leur réunion est l'univers entier, avec $P(R)\neq 0$ et $P(\overline{R})\neq 0$.

D'après la formule des probabilités totales :

On en déduit :

D'où :

Donc la probabilité que l'enfant interrogé habite en zone urbaine et soit atteint d'allergie alimentaire est $0{,}07946$.

Réponse : $P(\overline{R}\cap A)=0{,}07946$.

Question 2. c)

On cherche la probabilité de $A$ sachant $\overline{R}$. Comme $P(\overline{R})=0{,}83\neq 0$, la définition de la probabilité conditionnelle donne :

On remplace par les valeurs obtenues :

Donc un enfant habitant en zone urbaine est atteint d'allergie alimentaire avec une probabilité d'environ $0{,}0957$ (arrondie à $10^{-4}$).

Réponse : $P_{\overline{R}}(A)=\dfrac{0{,}07946}{0{,}83}\approx 0{,}0957$.

Partie B

Question 1.

On interroge $100$ enfants. D'après l'énoncé, ce choix se ramène à des tirages successifs indépendants avec remise.

Chaque interrogation est une épreuve de Bernoulli à deux issues : le succès « l'enfant est atteint d'allergie alimentaire », de probabilité $p=P(A)=0{,}09$, et l'échec.

Les $100$ épreuves sont identiques (même probabilité de succès $0{,}09$) et indépendantes.

$X$ compte le nombre de succès au cours de ces $100$ épreuves.

Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=0{,}09$.

Question 2.

On cherche $P(X\geqslant 10)$. L'évènement contraire de $X\geqslant 10$ est $X\leqslant 9$, donc :

À la calculatrice, avec la loi binomiale $\mathcal{B}(100\,;0{,}09)$, on obtient $P(X\leqslant 9)\approx 0{,}5875$, donc :

Donc la probabilité qu'au moins $10$ enfants parmi les $100$ interrogés soient atteints d'allergie alimentaire est d'environ $0{,}4125$ (arrondie à $10^{-4}$).

Réponse : $P(X\geqslant 10)\approx 0{,}4125$.

Partie C

Question 1.

$A_1,\dots,A_{20}$ sont les âges d'apparition des premiers symptômes des $20$ enfants de l'échantillon. La somme $A_1+\dots+A_{20}$ est la somme de ces âges, et on la divise par le nombre d'enfants, $20$.

Donc $M_{20}$ représente la moyenne des âges d'apparition des premiers symptômes allergiques dans l'échantillon de $20$ enfants atteints d'allergie alimentaire.

Question 2.

Par linéarité de l'espérance :

Les variables $A_1,\dots,A_{20}$ sont indépendantes, donc la variance de leur somme est la somme des variances :

Pour tout réel $a$, $V(aX)=a^2V(X)$, donc :

Donc $E(M_{20})=4$ et $V(M_{20})=0{,}1125$.

Réponse : $E(M_{20})=4$ et $V(M_{20})=0{,}1125$.

Question 3.

On remarque que :

Comme $E(M_{20})=4$, l'évènement contraire de $2<M_{20}<6$ est $|M_{20}-E(M_{20})|\geqslant 2$.

La variable $M_{20}$ admet une espérance et une variance. D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, pour tout réel $\delta>0$ :

Avec $\delta=2$ :

Par passage à l'évènement contraire :

Or $0{,}971875>0{,}97$, donc :

Interprétation : dans un échantillon de $20$ enfants atteints d'allergie alimentaire, l'âge moyen d'apparition des premiers symptômes est strictement compris entre $2$ et $6$ ans avec une probabilité supérieure à $0{,}97$.

Points clés attendus

• Nommer la formule des probabilités composées, puis la formule des probabilités totales avec la partition $\{R\,;\overline{R}\}$.

• Justifier la loi binomiale : $100$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, probabilité de succès $0{,}09$.

• Passer par l'évènement contraire pour calculer $P(X\geqslant 10)$ et préciser l'arrondi.

• Calculer $E(M_{20})$ et $V(M_{20})$ en utilisant l'indépendance pour la variance.

• Traduire $2<M_{20}<6$ en $|M_{20}-4|<2$, citer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec $\delta=2$, puis conclure et interpréter.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.