Bac 2025, Polynésie : exercice 4

Affirmation 1 : vraie.

L'équation $(E)$ est de la forme $y'=ay+b$ avec $a=\dfrac12\neq 0$ et $b=4$.

Ses solutions sur $\mathbb{R}$ sont les fonctions $x\mapsto k\mathrm{e}^{ax}-\dfrac{b}{a}$, avec $k\in\mathbb{R}$.

On calcule :

Vérifions directement : soit $f(x)=k\mathrm{e}^{\frac12x}-8$. Alors

Donc ces fonctions sont solutions de $(E)$, et ce sont toutes les solutions d'après le théorème sur les équations $y'=ay+b$.

Donc l'affirmation 1 est vraie.

Affirmation 2 : vraie.

Une équipe est constituée de $3$ filles choisies parmi $18$ et de $3$ garçons choisis parmi $14$. Les deux choix sont indépendants et chaque choix est une combinaison (l'ordre ne compte pas).

Le nombre de façons de choisir $3$ filles parmi $18$ est :

Le nombre de façons de choisir $3$ garçons parmi $14$ est :

D'après le principe multiplicatif, le nombre d'équipes est :

Donc l'affirmation 2 est vraie.

Affirmation 3 : vraie.

Pour tout entier naturel $n$, on a $-1\leqslant\cos(n)\leqslant 1$.

On ajoute $2$ : $1\leqslant 2+\cos(n)\leqslant 3$. En particulier $2+\cos(n)>0$, donc $v_n$ est bien défini.

Les nombres $\dfrac{1}{2+\cos(n)}$ et $\dfrac13$ sont positifs et, comme $0<2+\cos(n)\leqslant 3$, on a $\dfrac{1}{2+\cos(n)}\geqslant\dfrac13$.

On multiplie par $n\geqslant 0$ :

On a $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{n}{3}=+\infty$.

D'après le théorème de comparaison (une suite minorée par une suite qui tend vers $+\infty$ tend vers $+\infty$), $\lim\limits_{n\to+\infty}v_n=+\infty$.

Donc la suite $(v_n)$ diverge vers $+\infty$ : l'affirmation 3 est vraie.

Affirmation 4 : fausse.

Calculons les coordonnées des vecteurs :

Le produit scalaire est :

Cette première partie de l'affirmation est exacte.

Calculons les normes, le repère étant orthonormé :

On utilise $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\mathrm{AB}\times\mathrm{AC}\times\cos\widehat{\mathrm{BAC}}$ :

On en déduit $\widehat{\mathrm{BAC}}\approx 19{,}1^\circ$.

Or $\cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}\approx 0{,}866\neq 0{,}945$, donc l'angle $\widehat{\mathrm{BAC}}$ ne mesure pas $30^\circ$.

Donc l'affirmation 4 est fausse (le produit scalaire vaut bien $10$, mais l'angle vaut environ $19{,}1^\circ$).

Affirmation 5 : vraie.

Pour tout $x>0$, on factorise : $h''(x)=x\ln x-3x=x(\ln x-3)$.

Comme $x>0$, le signe de $h''(x)$ est celui de $\ln x-3$.

On résout, la fonction exponentielle étant strictement croissante :

Donc $h''(x)\geqslant 0$ pour tout $x\in\left[\mathrm{e}^3\,;+\infty\right[$.

Une fonction dont la dérivée seconde est positive sur un intervalle est convexe sur cet intervalle.

Donc $h$ est convexe sur $\left[\mathrm{e}^3\,;+\infty\right[$ : l'affirmation 5 est vraie.

Points clés attendus

• Équation $y'=ay+b$ : forme des solutions $k\mathrm{e}^{ax}-\dfrac{b}{a}$, avec vérification possible par dérivation.

• Dénombrement : combinaisons et principe multiplicatif, pas d'arrangements.

• Suite $v_n$ : encadrer $2+\cos(n)$, minorer $v_n$ par $\dfrac{n}{3}$ et citer le théorème de comparaison (pas de limite de $\cos(n)$).

• Angle : produit scalaire exact mais angle faux, à justifier par le calcul des normes et du cosinus.

• Convexité : étudier le signe de $h''$ après factorisation et conclure avec la définition de la convexité par le signe de $h''$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.