Bac 2025, Centres étrangers : exercice 4

Question 1.

a) On calcule les coordonnées de deux vecteurs, coordonnée par coordonnée, avec A$(1\;;\;0\;;\;3)$, B$(-2\;;\;1\;;\;2)$ et C$(0\;;\;3\;;\;2)$ :

Supposons que les vecteurs soient colinéaires : il existerait un réel $k$ tel que $\overrightarrow{AC} = k\,\overrightarrow{AB}$.

La première coordonnée donnerait $-1 = -3k$, donc $k = \dfrac{1}{3}$.

La deuxième coordonnée donnerait $3 = k \times 1$, donc $k = 3$.

Ces deux valeurs sont incompatibles : les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires.

Donc les points A, B et C ne sont pas alignés.

b) On calcule les produits scalaires de $\vec{n}\begin{pmatrix}-1\\1\\4\end{pmatrix}$ avec $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ :

Le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) (question a).

Un vecteur orthogonal à deux vecteurs directeurs non colinéaires d'un plan est orthogonal à tout vecteur de ce plan.

Donc le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal au plan (ABC).

c) Le vecteur $\vec{n}\begin{pmatrix}-1\\1\\4\end{pmatrix}$ est normal au plan (ABC), donc le plan admet une équation de la forme

Le point A$(1\;;\;0\;;\;3)$ appartient au plan, donc

Vérification avec les deux autres points : pour B, $2 + 1 + 8 - 11 = 0$   pour C, $0 + 3 + 8 - 11 = 0$.

Donc le plan (ABC) a pour équation cartésienne $-x + y + 4z - 11 = 0$.

Question 2.

a) Des vecteurs normaux aux plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ sont

Supposons ces vecteurs colinéaires : $\vec{n}_{\mathcal{P}} = k\,\vec{n}_{\mathcal{P}'}$.

La première coordonnée donnerait $k = 3$ et la troisième donnerait $2 = -k$, soit $k = -2$ : c'est impossible.

Les vecteurs normaux ne sont donc pas colinéaires, donc les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ ne sont pas parallèles.

Deux plans non parallèles sont sécants.

Donc les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ sont sécants selon une droite $(d)$.

b) Deux plans sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.

On calcule

Ce produit scalaire est non nul.

Donc les plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ ne sont pas perpendiculaires.

Question 3.

La droite $(d)$ est contenue dans $\mathcal{P}$ et dans $\mathcal{P}'$ : un vecteur directeur de $(d)$ est orthogonal à $\vec{n}_{\mathcal{P}}$ et à $\vec{n}_{\mathcal{P}'}$.

On calcule, pour $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$ :

Le vecteur $\vec{u}$ est donc orthogonal à $\vec{n}_{\mathcal{P}}$ et à $\vec{n}_{\mathcal{P}'}$, donc parallèle à $\mathcal{P}$ et à $\mathcal{P}'$.

Les plans étant sécants (question 2.a), leur intersection est une droite et les vecteurs orthogonaux aux deux vecteurs normaux (non colinéaires) forment une seule direction : celle de $(d)$.

Comme $\vec{u} \neq \vec{0}$, le vecteur $\vec{u}$ dirige la droite $(d)$.

Donc la droite $(d)$ est dirigée par $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$.

Question 4.

On teste les coordonnées de M$(2\;;\;1\;;\;3)$ dans chaque équation.

Dans $\mathcal{P}$ : $3 \times 2 - 3 \times 1 + 2 \times 3 - 9 = 6 - 3 + 6 - 9 = 0$.

Dans $\mathcal{P}'$ : $2 - 1 - 3 + 2 = 0$.

Donc M appartient à $\mathcal{P}$ et à $\mathcal{P}'$, donc à leur intersection $(d)$.

La droite $(d)$ passe par M$(2\;;\;1\;;\;3)$ et est dirigée par $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}$.

Une représentation paramétrique de $(d)$ est donc

Question 5.

Le point M$(2\;;\;1\;;\;3)$ appartient à $(d)$.

Il appartient aussi au plan (ABC) : $-2 + 1 + 4 \times 3 - 11 = -2 + 1 + 12 - 11 = 0$.

Le vecteur $\vec{u}$ vérifie $\vec{u} \cdot \vec{n} = (-1) \times 1 + 1 \times 1 + 4 \times 0 = 0$ : il est orthogonal au vecteur normal $\vec{n}$ de (ABC), donc parallèle au plan (ABC).

La droite $(d)$ passe par un point du plan (ABC) et est dirigée par un vecteur parallèle à ce plan.

Donc la droite $(d)$ est incluse dans le plan (ABC).

Conclusion sur les trois plans : (ABC), $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ contiennent tous la droite $(d)$.

Donc les trois plans sont sécants selon la même droite $(d)$.

Points clés attendus

• Non-alignement justifié par la non-colinéarité de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$, avec les coordonnées détaillées.

• Vecteur normal : orthogonalité à deux vecteurs non colinéaires du plan, puis $d$ déterminé avec les coordonnées d'un point, et vérifié.

• Plans sécants si et seulement si les vecteurs normaux ne sont pas colinéaires   perpendiculaires si et seulement si le produit scalaire des vecteurs normaux est nul.

• Vecteur directeur de $(d)$ : orthogonal aux deux vecteurs normaux   point M vérifiant les deux équations, puis représentation paramétrique.

• Inclusion de $(d)$ dans (ABC) : un point commun et un vecteur directeur orthogonal à $\vec{n}$.

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