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Terminale Spé Maths / Chapitre 10 : Vecteurs, droites et plans de l'espace / Annales du bac

Bac 2025, Métropole : exercice 3

17 juin 2025 · jour 1 · 4 points Vrai / Faux

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Justifier chaque réponse. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.

On munit l'espace d'un repère orthonormé (O ; ı⃗, ȷ⃗, k⃗)\left(\mathrm{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right).

  1. On considère les points A(−1  ;  0  ;  5)(-1\;;\;0\;;\;5) et B(3  ;  2  ;  −1)(3\;;\;2\;;\;-1).

    Affirmation 1 : Une représentation paramétrique de la droite (AB) est

    {x=−3−2ty=−2−2tz=−1+3t avec t∈R.\left\{\begin{array}{l c l} x &=& \phantom{-}3 - 2t\\ y &=&\phantom{-}2- \phantom{2}t\\ z&=&- 1 + 3t \end{array}\right.\,\text{avec } t \in \mathbb{R}.

    Affirmation 2 : Le vecteur n→(5−21)\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}5\\ -2\\1\end{pmatrix} est normal au plan (OAB).

  2. On considère :

    • la droite dd de représentation paramétrique {x=15+−ky=18−−kz=−6+2k\left\{\begin{array}{l c l}x &=&15+ \phantom{-}k\\y &=& \phantom{1}8 - \phantom{-}k\\z &=& - 6 + 2k \end{array}\right. avec  k∈Rk\in \mathbb{R}

    • la droite d′d' de représentation paramétrique {x=1+4sy=2+4sz=1−6s\left\{\begin{array}{l c l}x&=&1 + 4s\\ y &=& 2 + 4s\\z&=&1- 6s \end{array}\right. avec s∈Rs \in \mathbb{R}.

    Affirmation 3 : Les droites dd et d′d' ne sont pas coplanaires.

  3. On considère le plan P\mathcal{P} d'équation x−y+z+1=0x- y + z + 1 = 0.

    Affirmation 4 : La distance du point C(2  ;  −1  ;  2)(2\;;\;-1\;;\;2) au plan P\mathcal{P} est égale à 232\sqrt 3.

Voir le corrigé

Affirmation 1. Vraie.

On calcule les coordonnées du vecteur AB→\overrightarrow{AB} :

AB→(3−(−1)2−0−1−5)=(42−6).\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 - (-1) \\ 2 - 0 \\ -1 - 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix}.

La représentation proposée est celle de la droite passant par le point de paramètre t=0t = 0 et dirigée par le vecteur v⃗(−2−13)\vec{v}\begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} (coefficients de tt).

Pour t=0t = 0, on obtient le point de coordonnées (3  ;  2  ;  −1)(3\;;\;2\;;\;-1), c'est-à-dire le point B.

De plus

AB→=(42−6)=−2(−2−13)=−2v⃗,\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -6 \end{pmatrix} = -2\begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} = -2\vec{v},
donc v⃗\vec{v} est colinéaire à AB→\overrightarrow{AB} : c'est un vecteur directeur de la droite (AB).

La droite proposée passe par B et a pour vecteur directeur v⃗\vec{v} colinéaire à AB→\overrightarrow{AB} : c'est la droite (AB).

Donc l'affirmation 1 est vraie.

Affirmation 2. Fausse.

Les points O, A, B définissent un plan (ils ne sont pas alignés, car OA→\overrightarrow{OA} et OB→\overrightarrow{OB} ne sont pas colinéaires). Un vecteur est normal à ce plan s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan.

On a

OA→(−105),OB→(32−1),n⃗(5−21).\overrightarrow{OA}\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix}, \qquad \overrightarrow{OB}\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}, \qquad \vec{n}\begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}.

On calcule les produits scalaires :

n⃗⋅OA→=5×(−1)+(−2)×0+1×5=−5+0+5=0,\vec{n} \cdot \overrightarrow{OA} = 5 \times (-1) + (-2) \times 0 + 1 \times 5 = -5 + 0 + 5 = 0,
n⃗⋅OB→=5×3+(−2)×2+1×(−1)=15−4−1=10.\vec{n} \cdot \overrightarrow{OB} = 5 \times 3 + (-2) \times 2 + 1 \times (-1) = 15 - 4 - 1 = 10.

Comme n⃗⋅OB→≠0\vec{n} \cdot \overrightarrow{OB} \neq 0, le vecteur n⃗\vec{n} n'est pas orthogonal à OB→\overrightarrow{OB}.

Donc n⃗\vec{n} n'est pas normal au plan (OAB) : l'affirmation 2 est fausse.

Affirmation 3. Fausse.

Deux droites sont coplanaires si elles sont parallèles ou sécantes. Les vecteurs directeurs sont

u⃗(1−12)pour d,u⃗′(44−6)pour d′.\vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \quad\text{pour } d, \qquad \vec{u}'\begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ -6 \end{pmatrix} \quad\text{pour } d'.

Ils ne sont pas colinéaires : si u⃗′=λu⃗\vec{u}' = \lambda\vec{u}, la première coordonnée donnerait λ=4\lambda = 4, et la deuxième λ=−4\lambda = -4, ce qui est impossible. Donc les droites dd et d′d' ne sont pas parallèles.

On cherche un éventuel point d'intersection : il existe (k  ;  s)(k\;;\;s) vérifiant

{15+k=1+4s(1)8−k=2+4s(2)−6+2k=1−6s(3)\begin{cases} 15 + k = 1 + 4s & (1) \\ 8 - k = 2 + 4s & (2) \\ -6 + 2k = 1 - 6s & (3) \end{cases}

En additionnant (1) et (2) : 23=3+8s23 = 3 + 8s, donc 8s=208s = 20 et s=52=2,5s = \dfrac52 = 2{,}5.

En reportant dans (1) : 15+k=1+10=1115 + k = 1 + 10 = 11, donc k=−4k = -4.

On vérifie l'équation (3) :

−6+2×(−4)=−14et1−6×2,5=1−15=−14.-6 + 2 \times (-4) = -14 \qquad\text{et}\qquad 1 - 6 \times 2{,}5 = 1 - 15 = -14.

Le système admet donc la solution (k  ;  s)=(−4  ;  2,5)(k\;;\;s) = (-4\;;\;2{,}5). Le point correspondant a pour coordonnées (15−4  ;  8+4  ;  −6−8)=(11  ;  12  ;  −14)(15 - 4\;;\;8 + 4\;;\;-6 - 8) = (11\;;\;12\;;\;-14), et on retrouve (1+10  ;  2+10  ;  1−15)(1 + 10\;;\;2 + 10\;;\;1 - 15) avec d′d'.

Les droites dd et d′d' sont donc sécantes en (11  ;  12  ;  −14)(11\;;\;12\;;\;-14), donc coplanaires.

Donc l'affirmation 3 est fausse.

Affirmation 4. Vraie.

Le plan P\mathcal{P} a pour équation x−y+z+1=0x - y + z + 1 = 0, de vecteur normal (1−11)\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}, dans un repère orthonormé.

La distance du point C(2  ;  −1  ;  2)(2\;;\;-1\;;\;2) au plan P\mathcal{P} est donnée par la formule

d(C,P)=∣axC+byC+czC+d∣a2+b2+c2.d(\mathrm{C}, \mathcal{P}) = \dfrac{|ax_C + by_C + cz_C + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}.

Ici

d(C,P)=∣2−(−1)+2+1∣12+(−1)2+12=∣2+1+2+1∣3=63=633=23.d(\mathrm{C}, \mathcal{P}) = \dfrac{|2 - (-1) + 2 + 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2}} = \dfrac{|2 + 1 + 2 + 1|}{\sqrt{3}} = \dfrac{6}{\sqrt3} = \dfrac{6\sqrt3}{3} = 2\sqrt3.

Donc la distance de C au plan P\mathcal{P} est égale à 232\sqrt3 : l'affirmation 4 est vraie.

Points clés attendus

  • Affirmation 1 : vérifier à la fois qu'un point de la droite proposée est sur (AB) et que son vecteur directeur est colinéaire à AB→\overrightarrow{AB}.

  • Affirmation 2 : un vecteur normal doit être orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan   un seul produit scalaire nul ne suffit pas, un produit scalaire non nul suffit pour réfuter.

  • Affirmation 3 : deux droites non parallèles sont coplanaires si et seulement si elles sont sécantes   résoudre le système en vérifiant la troisième équation.

  • Affirmation 4 : citer la formule de distance d'un point à un plan dans un repère orthonormé et simplifier le radical.

  • Chaque réponse doit comporter la valeur de vérité et une justification, sans quoi elle ne rapporte aucun point.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.

Comment t'entraîner

Chronomètre-toi, rédige sur papier comme le jour du bac, puis seulement après regarde le cours. Si tu bloques sur une question, écris « on admet que… » et passe à la suivante.

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Revoir le cours

Source : sujet officiel de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat, session 2025 (Métropole, 17 juin 2025 (jour 1)), ministère de l'Éducation nationale. Énoncé mis en forme pour le web à partir du tapuscrit de l'APMEP (Denis Vergès et François Hache) ; figures issues des fichiers de l'APMEP. En cas de doute sur un détail, le sujet officiel fait foi.

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