Bac 2025, Polynésie : exercice 3

Partie A

Question 1. a)

Soit $n\geqslant 1$. La fonction $f_n$ est dérivable sur $[0\,;+\infty[$ (admis) et $f_n=u\times v$ avec :

D'après la formule de dérivation d'un produit, $(uv)'=u'v+uv'$, donc pour tout $x\geqslant 0$ :

On factorise par $x^{n-1}\mathrm{e}^{-x}$, en écrivant $x^n=x\times x^{n-1}$ :

Donc, pour tout $x\geqslant 0$ :

Question 1. b)

Signe de la dérivée. Pour tout $x>0$, on a $x^{n-1}>0$ et $\mathrm{e}^{-x}>0$, donc $x^{n-1}\mathrm{e}^{-x}>0$.

Le signe de $f_n'(x)$ est donc celui de $n-x$ :

• pour $0<x<n$, $n-x>0$ donc $f_n'(x)>0$

• pour $x=n$, $f_n'(n)=0$

• pour $x>n$, $n-x<0$ donc $f_n'(x)<0$.

Variations. Donc $f_n$ est croissante sur $[0\,;n]$ et décroissante sur $[n\,;+\infty[$.

Valeur en $0$. Comme $n\geqslant 1$, $f_n(0)=0^n\times\mathrm{e}^{0}=0$.

Maximum. D'après les variations, $f_n$ admet un maximum en $x=n$ :

Limite en $+\infty$. Pour $x>0$, $f_n(x)=\dfrac{x^n}{\mathrm{e}^x}$. Par croissances comparées, pour tout entier $n\geqslant 1$ :

Donc $\lim\limits_{x\to+\infty}f_n(x)=0$.

Donc le tableau est justifié : $f_n'$ est positive sur $[0\,;n[$, nulle en $n$, négative sur $]n\,;+\infty[$   $f_n$ part de $0$, croît jusqu'à $\left(\dfrac{n}{\mathrm{e}}\right)^n$ en $x=n$, puis décroît vers $0$.

Question 2.

Calculons l'image de $1$ par $f_n$ :

Ce résultat est indépendant de $n$.

Donc le point $\mathrm{A}\left(1\,;\mathrm{e}^{-1}\right)$ appartient à la courbe $\mathcal{C}_n$ pour tout $n\geqslant 1$.

Partie B

Question 1. a)

La fonction $f_n$ est continue et positive sur $[0\,;1]$.

Donc $I_n=\displaystyle\int_0^1 f_n(x)\,\mathrm{d}x$ est l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}_n$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$.

Question 1. b)

Sur le graphique, lorsque $n$ augmente, les courbes $\mathcal{C}_n$ se rapprochent de l'axe des abscisses sur la quasi-totalité de l'intervalle $[0\,;1]$ : $\mathcal{C}_{10}$ puis $\mathcal{C}_{100}$ sont presque confondues avec l'axe, sauf près de $x=1$. L'aire sous la courbe diminue.

Donc on peut conjecturer que la suite $(I_n)$ est décroissante et converge vers $0$.

Question 2.

La fonction $x\mapsto\mathrm{e}^{-x}$ est continue sur $[0\,;1]$ et a pour primitive $x\mapsto-\mathrm{e}^{-x}$. Donc :

Donc $I_0=1-\dfrac{1}{\mathrm{e}}$.

Réponse : $I_0=1-\dfrac{1}{\mathrm{e}}$.

Question 3. a)

Soit $n\in\mathbb{N}$ et $x\in[0\,;1]$.

On a $x^{n+1}=x\times x^n$.

Comme $x\geqslant 0$, on a $x^n\geqslant 0$, donc $x^{n+1}=x\times x^n\geqslant 0$.

Comme $0\leqslant x\leqslant 1$ et $x^n\geqslant 0$, en multipliant l'inégalité $x\leqslant 1$ par $x^n\geqslant 0$ on obtient $x\times x^n\leqslant x^n$, c'est-à-dire $x^{n+1}\leqslant x^n$.

Donc, pour tout $x\in[0\,;1]$ :

Question 3. b)

Soit $n\in\mathbb{N}$. Pour tout $x\in[0\,;1]$, $\mathrm{e}^{-x}>0$. On multiplie les inégalités de la question précédente par $\mathrm{e}^{-x}$, ce qui conserve leur sens :

c'est-à-dire $0\leqslant f_{n+1}(x)\leqslant f_n(x)$.

Les fonctions $f_n$ et $f_{n+1}$ sont continues sur $[0\,;1]$ et les bornes sont rangées dans l'ordre croissant ($0<1$). Par positivité et croissance de l'intégrale :

Donc, pour tout entier naturel $n$ :

Question 4.

D'après la question 3. b), pour tout $n$, $I_{n+1}\leqslant I_n$ : la suite $(I_n)$ est décroissante.

Toujours d'après la question 3. b), pour tout $n$, $I_n\geqslant 0$ : la suite $(I_n)$ est minorée par $0$.

D'après le théorème de la limite monotone (toute suite décroissante et minorée converge), la suite $(I_n)$ converge vers une limite réelle $\ell$.

Comme $I_n\geqslant 0$ pour tout $n$, le passage à la limite dans une inégalité large donne $\ell\geqslant 0$.

Donc la suite $(I_n)$ est convergente, de limite $\ell\geqslant 0$.

Question 5.

Soit $n\in\mathbb{N}$. On pose, pour $x\in[0\,;1]$ :

Les fonctions $u$ et $w$ sont de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[0\,;1]$, donc on peut intégrer par parties :

On calcule chaque terme :

Donc, pour tout entier naturel $n$ :

Question 6. a)

Raisonnons par l'absurde en supposant $\ell>0$.

La suite $(n+1)$ tend vers $+\infty$ et $(I_n)$ tend vers $\ell>0$. Par produit de limites, $\lim\limits_{n\to+\infty}(n+1)I_n=+\infty$.

Or, d'après la question 5, pour tout $n$ :

Comme $(I_{n+1})$ converge vers $\ell$, le membre de droite converge vers $\ell+\dfrac{1}{\mathrm{e}}$, qui est un nombre réel fini.

Une même suite ne peut pas tendre à la fois vers $+\infty$ et vers un réel : c'est une contradiction.

Donc l'hypothèse $\ell>0$ est impossible : si $\ell>0$, l'égalité de la question 5 conduit à une contradiction.

Question 6. b)

D'après la question 4, $\ell\geqslant 0$.

D'après la question 6. a), $\ell>0$ est impossible.

Donc $\ell=0$.

Question 7.

La fonction mystere initialise I à $1-\dfrac{1}{\mathrm{e}}=I_0$ et place cette valeur dans la liste L.

À l'étape i (de $0$ à $n-1$), l'instruction I = (i + 1)*I - 1/e applique la relation de la question 5 : si I vaut $I_i$, elle devient $(i+1)I_i-\dfrac{1}{\mathrm{e}}=I_{i+1}$. La nouvelle valeur est ajoutée à la liste.

Pour $n=100$, la boucle s'exécute $100$ fois et la liste contient $I_0,I_1,\dots,I_{100}$.

Donc mystere(100) renvoie la liste $[I_0\,;I_1\,;\dots\,;I_{100}]$ des $101$ premiers termes de la suite $(I_n)$, calculés à l'aide de la relation de récurrence de la question 5 à partir de $I_0=1-\dfrac{1}{\mathrm{e}}$.

Points clés attendus

• Dérivée d'un produit détaillée, puis signe de $f_n'$ justifié par la positivité de $x^{n-1}\mathrm{e}^{-x}$ et le signe de $n-x$.

• Limite en $+\infty$ justifiée par les croissances comparées.

• Encadrement $0\leqslant x^{n+1}\leqslant x^n$ sur $[0\,;1]$, puis positivité et croissance de l'intégrale (bornes dans l'ordre croissant).

• Convergence de $(I_n)$ par le théorème de la limite monotone (suite décroissante et minorée), puis $\ell\geqslant 0$.

• Intégration par parties avec les fonctions $u$ et $w$ de classe $\mathcal{C}^1$, puis raisonnement par l'absurde pour $\ell=0$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.