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Terminale Spé Maths / Chapitre 10 : Vecteurs, droites et plans de l'espace / Annales du bac

Bac 2025, Amérique du Nord : exercice 3

22 mai 2025 · jour 2 · 5 points

PARTIE A

ABCDEFGH est un cube d'arête de longueur 1.

Les points I, J, K, L et M sont les milieux respectifs des arêtes [AB], [BF], [AE], [CD] et [DH].

Figure de l'énoncé, exercice 3, Amérique du Nord 22 mai 2025

Affirmation 1 : « JH→=2BI→+DM→−CB→\overrightarrow{\text{JH}} = 2\overrightarrow{\text{BI}} + \overrightarrow{\text{DM}} - \overrightarrow{\text{CB}} »

Affirmation 2 : « Le triplet de vecteurs (AB→,  AH→,  AG→)\left(\overrightarrow{\text{AB}},\;\overrightarrow{\text{AH}},\;\overrightarrow{\text{AG}}\right) est une base de l'espace. »

Affirmation 3 : « IB→⋅LM→=−14\overrightarrow{\text{IB}} \cdot \overrightarrow{\text{LM}} = - \dfrac 14. »

PARTIE B

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, on considère :

  • le plan P\mathcal{P} d'équation cartésienne 2x−y+3z+6=02x - y + 3z + 6 = 0

  • les points A(2  ;  0  ;  −1)(2\;;\;0\;;\;-1) et B(5  ;  −3  ;  7)(5\;;\;-3\;;\;7)

Affirmation 4 : « Le plan P\mathcal{P} et la droite (AB) sont parallèles. »

Affirmation 5 : « Le plan P′\mathcal{P}' parallèle à P\mathcal{P} passant par B a pour équation cartésienne −2x+y−3z+34=0-2x + y - 3z + 34 = 0 »

Affirmation 6 : « La distance du point A au plan P\mathcal{P} est égale à 142\dfrac{\sqrt{14}}{2}. »

On note (d)(d) la droite de représentation paramétrique

{x=−12+2ky=−6z=−3−−5k,ouˋ  k∈R\left\{\begin{array}{l c l} x &=&-12 + 2k\\ y &=&\phantom{-}6\\ z &=&\phantom{-}3 - \phantom{-}5k \end{array}\right., \text{où}\, \,k \in \mathbb{R}

Affirmation 7 : « Les droites (AB) et (d)(d) ne sont pas coplanaires. »

Voir le corrigé

Partie A

On se place dans le repère orthonormé (A ;AB→,AD→,AE→)\left(A\,;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right), ce qui est possible car le cube est d'arête 11 et les vecteurs AB→\overrightarrow{AB}, AD→\overrightarrow{AD}, AE→\overrightarrow{AE} sont deux à deux orthogonaux et de norme 11.

Les points ont pour coordonnées :

A(0 ;0 ;0), B(1 ;0 ;0), C(1 ;1 ;0), D(0 ;1 ;0), E(0 ;0 ;1), F(1 ;0 ;1), G(1 ;1 ;1), H(0 ;1 ;1).A(0\,;0\,;0),\ B(1\,;0\,;0),\ C(1\,;1\,;0),\ D(0\,;1\,;0),\ E(0\,;0\,;1),\ F(1\,;0\,;1),\ G(1\,;1\,;1),\ H(0\,;1\,;1).

Les points I, J, L et M sont des milieux d'arêtes :

I(12 ;0 ;0),J(1 ;0 ;12),L(12 ;1 ;0),M(0 ;1 ;12).I\left(\tfrac12\,;0\,;0\right),\quad J\left(1\,;0\,;\tfrac12\right),\quad L\left(\tfrac12\,;1\,;0\right),\quad M\left(0\,;1\,;\tfrac12\right).

Affirmation 1. L'affirmation est vraie.

On calcule chaque vecteur coordonnée par coordonnée.

JH→(0−1 ; 1−0 ; 1−12)=(−1 ;1 ;12).\overrightarrow{JH}\left(0-1\,;\,1-0\,;\,1-\tfrac12\right)=\left(-1\,;1\,;\tfrac12\right).

BI→(12−1 ; 0 ; 0)=(−12 ;0 ;0),donc2BI→=(−1 ;0 ;0).\overrightarrow{BI}\left(\tfrac12-1\,;\,0\,;\,0\right)=\left(-\tfrac12\,;0\,;0\right),\qquad\text{donc}\qquad2\overrightarrow{BI}=(-1\,;0\,;0).

DM→(0 ; 0 ; 12−0)=(0 ;0 ;12).\overrightarrow{DM}\left(0\,;\,0\,;\,\tfrac12-0\right)=\left(0\,;0\,;\tfrac12\right).

CB→(1−1 ; 0−1 ; 0)=(0 ;−1 ;0),donc−CB→=(0 ;1 ;0).\overrightarrow{CB}(1-1\,;\,0-1\,;\,0)=(0\,;-1\,;0),\qquad\text{donc}\qquad-\overrightarrow{CB}=(0\,;1\,;0).

Donc

2BI→+DM→−CB→=(−1 ;0 ;0)+(0 ;0 ;12)+(0 ;1 ;0)=(−1 ;1 ;12)=JH→.2\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{DM}-\overrightarrow{CB}=(-1\,;0\,;0)+\left(0\,;0\,;\tfrac12\right)+(0\,;1\,;0)=\left(-1\,;1\,;\tfrac12\right)=\overrightarrow{JH}.

Donc l'égalité JH→=2BI→+DM→−CB→\overrightarrow{JH}=2\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{DM}-\overrightarrow{CB} est vérifiée.

Affirmation 2. L'affirmation est fausse.

On a AB→(1 ;0 ;0)\overrightarrow{AB}(1\,;0\,;0), AH→(0 ;1 ;1)\overrightarrow{AH}(0\,;1\,;1) et AG→(1 ;1 ;1)\overrightarrow{AG}(1\,;1\,;1).

On remarque que

AB→+AH→=(1 ;1 ;1)=AG→.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AH}=(1\,;1\,;1)=\overrightarrow{AG}.

Donc AG→\overrightarrow{AG} est combinaison linéaire de AB→\overrightarrow{AB} et AH→\overrightarrow{AH} : les trois vecteurs sont coplanaires.

Trois vecteurs coplanaires ne forment pas une base de l'espace. Donc le triplet (AB→,AH→,AG→)\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AH},\overrightarrow{AG}\right) n'est pas une base de l'espace.

Affirmation 3. L'affirmation est vraie.

On a

IB→(1−12 ;0 ;0)=(12 ;0 ;0),LM→(0−12 ; 1−1 ; 12−0)=(−12 ;0 ;12).\overrightarrow{IB}\left(1-\tfrac12\,;0\,;0\right)=\left(\tfrac12\,;0\,;0\right),\qquad\overrightarrow{LM}\left(0-\tfrac12\,;\,1-1\,;\,\tfrac12-0\right)=\left(-\tfrac12\,;0\,;\tfrac12\right).

Le repère étant orthonormé, le produit scalaire se calcule avec les coordonnées :

IB→⋅LM→=12×(−12)+0×0+0×12=−14.\overrightarrow{IB}\cdot\overrightarrow{LM}=\tfrac12\times\left(-\tfrac12\right)+0\times0+0\times\tfrac12=-\dfrac14.

Donc IB→⋅LM→=−14\overrightarrow{IB}\cdot\overrightarrow{LM}=-\dfrac14.

Partie B

Affirmation 4. L'affirmation est fausse.

Le plan P\mathcal{P} a pour équation 2x−y+3z+6=02x-y+3z+6=0 : un vecteur normal à P\mathcal{P} est n⃗(2 ;−1 ;3)\vec{n}(2\,;-1\,;3).

On a AB→(5−2 ; −3−0 ; 7−(−1))=(3 ;−3 ;8)\overrightarrow{AB}(5-2\,;\,-3-0\,;\,7-(-1))=(3\,;-3\,;8).

La droite (AB)(AB) est parallèle au plan P\mathcal{P} si et seulement si AB→\overrightarrow{AB} est orthogonal à n⃗\vec{n} (le repère est orthonormé).

Or

n⃗⋅AB→=2×3+(−1)×(−3)+3×8=6+3+24=33≠0.\vec{n}\cdot\overrightarrow{AB}=2\times3+(-1)\times(-3)+3\times8=6+3+24=33\neq0.

Donc AB→\overrightarrow{AB} n'est pas orthogonal à n⃗\vec{n} : la droite (AB)(AB) n'est pas parallèle au plan P\mathcal{P}.

Affirmation 5. L'affirmation est vraie.

Un plan parallèle à P\mathcal{P} a le même vecteur normal n⃗(2 ;−1 ;3)\vec{n}(2\,;-1\,;3), donc une équation de la forme 2x−y+3z+d=02x-y+3z+d=0.

Il passe par B(5 ;−3 ;7)B(5\,;-3\,;7) si et seulement si

2×5−(−3)+3×7+d=0  ⟺  10+3+21+d=0  ⟺  d=−34.2\times5-(-3)+3\times7+d=0\iff10+3+21+d=0\iff d=-34.

Donc P′\mathcal{P}' a pour équation 2x−y+3z−34=02x-y+3z-34=0.

En multipliant les deux membres par −1-1, on obtient l'équation équivalente −2x+y−3z+34=0-2x+y-3z+34=0, qui est celle de l'énoncé.

Donc l'affirmation est vraie.

Affirmation 6. L'affirmation est vraie.

La distance d'un point A(xA ;yA ;zA)A(x_A\,;y_A\,;z_A) au plan d'équation ax+by+cz+d=0ax+by+cz+d=0 est

∣axA+byA+czA+d∣a2+b2+c2.\dfrac{\left|ax_A+by_A+cz_A+d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.

Avec A(2 ;0 ;−1)A(2\,;0\,;-1) et P\mathcal{P} : 2x−y+3z+6=02x-y+3z+6=0 :

d(A,P)=∣2×2−0+3×(−1)+6∣22+(−1)2+32=∣4−3+6∣14=714.d(A,\mathcal{P})=\dfrac{\left|2\times2-0+3\times(-1)+6\right|}{\sqrt{2^2+(-1)^2+3^2}}=\dfrac{|4-3+6|}{\sqrt{14}}=\dfrac{7}{\sqrt{14}}.

Or

714=71414=142.\dfrac{7}{\sqrt{14}}=\dfrac{7\sqrt{14}}{14}=\dfrac{\sqrt{14}}{2}.

Donc la distance du point AA au plan P\mathcal{P} est bien 142\dfrac{\sqrt{14}}{2}.

Affirmation 7. L'affirmation est fausse.

La droite (d)(d) passe par le point de paramètre k=0k=0 et est dirigée par v⃗(2 ;0 ;−5)\vec{v}(2\,;0\,;-5).

La droite (AB)(AB) est dirigée par AB→(3 ;−3 ;8)\overrightarrow{AB}(3\,;-3\,;8).

Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires : la deuxième coordonnée de v⃗\vec{v} est nulle, celle de AB→\overrightarrow{AB} ne l'est pas, alors que v⃗≠0⃗\vec{v}\neq\vec{0}. Les droites ne sont donc pas parallèles.

Deux droites non parallèles sont coplanaires si et seulement si elles sont sécantes. Cherchons un point commun.

Un point MM de (AB)(AB) a pour coordonnées (2+3s ; −3s ; −1+8s)(2+3s\,;\,-3s\,;\,-1+8s) avec s∈Rs\in\mathbb{R}.

Un point de (d)(d) a pour coordonnées (−12+2k ; 6 ; 3−5k)(-12+2k\,;\,6\,;\,3-5k) avec k∈Rk\in\mathbb{R}.

Il appartient aux deux droites si et seulement si le système suivant admet une solution (s ;k)(s\,;k) :

{2+3s=−12+2k−3s=6−1+8s=3−5k\left\{\begin{array}{l}2+3s=-12+2k\\-3s=6\\-1+8s=3-5k\end{array}\right.

La deuxième équation donne s=−2s=-2.

La première équation devient 2−6=−12+2k2-6=-12+2k, soit 2k=82k=8, donc k=4k=4.

Vérifions la troisième équation : −1+8×(−2)=−17-1+8\times(-2)=-17 et 3−5×4=−173-5\times4=-17. Elle est vérifiée.

Le système admet donc la solution (s ;k)=(−2 ;4)(s\,;k)=(-2\,;4) : les droites (AB)(AB) et (d)(d) sont sécantes au point de coordonnées (−4 ;6 ;−17)(-4\,;6\,;-17).

Deux droites sécantes sont coplanaires. Donc l'affirmation « les droites (AB)(AB) et (d)(d) ne sont pas coplanaires » est fausse.

Points clés attendus

  • Choisir un repère orthonormé adapté au cube et écrire toutes les coordonnées avant de calculer.

  • Justifier la coplanarité de trois vecteurs par une relation linéaire entre eux (affirmation 2).

  • Relier le parallélisme d'une droite et d'un plan à l'orthogonalité de AB→\overrightarrow{AB} et d'un vecteur normal.

  • Citer la formule de la distance d'un point à un plan et simplifier le résultat.

  • Pour la coplanarité de deux droites : montrer la non-colinéarité des vecteurs directeurs, puis résoudre le système et vérifier la troisième équation.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.

Comment t'entraîner

Chronomètre-toi, rédige sur papier comme le jour du bac, puis seulement après regarde le cours. Si tu bloques sur une question, écris « on admet que… » et passe à la suivante.

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Revoir le cours

Source : sujet officiel de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat, session 2025 (Amérique du Nord, 22 mai 2025 (jour 2)), ministère de l'Éducation nationale. Énoncé mis en forme pour le web à partir du tapuscrit de l'APMEP (Denis Vergès et François Hache) ; figures issues des fichiers de l'APMEP. En cas de doute sur un détail, le sujet officiel fait foi.

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