Bac 2025, Amérique du Nord : exercice 4

Partie A

Question 1. a)

Les fonctions $x\mapsto\mathrm{e}^x$ et $x\mapsto\sin(x)$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$, donc sur $[0\,;\pi]$. Leur produit $f$ est donc dérivable sur $[0\,;\pi]$.

On applique la formule $(uv)'=u'v+uv'$ avec $u(x)=\mathrm{e}^x$ et $v(x)=\sin(x)$, soit $u'(x)=\mathrm{e}^x$ et $v'(x)=\cos(x)$ :

En factorisant par $\mathrm{e}^x$ :

Question 1. b)

Soit $x\in\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$.

On a $\mathrm{e}^x>0$.

Sur cet intervalle, $\sin(x)\geqslant0$ et $\cos(x)\geqslant0$. De plus, $\sin(x)$ et $\cos(x)$ ne sont jamais nuls en même temps : $\sin(x)=0$ n'a lieu que pour $x=0$, où $\cos(0)=1$, et $\cos(x)=0$ n'a lieu que pour $x=\dfrac{\pi}{2}$, où $\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1$.

Donc $\sin(x)+\cos(x)>0$.

Le produit de deux facteurs strictement positifs est strictement positif : $f'(x)>0$ pour tout $x\in\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$.

Donc la fonction $f$ est strictement croissante sur $\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$.

Question 2. a)

La tangente $T$ à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $0$ a pour équation

On a $f(0)=\mathrm{e}^0\sin(0)=0$ et $f'(0)=\mathrm{e}^0\left[\sin(0)+\cos(0)\right]=1\times(0+1)=1$.

Donc $T$ a pour équation $y=x$.

Réponse : $T:\ y=x$.

Question 2. b)

La fonction $f'$ est dérivable sur $[0\,;\pi]$ comme produit de fonctions dérivables. On la dérive avec la formule $(uv)'=u'v+uv'$, où $u(x)=\mathrm{e}^x$ et $v(x)=\sin(x)+\cos(x)$, soit $v'(x)=\cos(x)-\sin(x)$ :

Les termes en $\sin(x)$ s'annulent :

Sur $\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$, on a $\mathrm{e}^x>0$ et $\cos(x)\geqslant0$, donc $f''(x)\geqslant0$.

Une fonction deux fois dérivable dont la dérivée seconde est positive est convexe.

Donc $f$ est convexe sur $\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$.

Question 2. c)

Une fonction convexe sur un intervalle est située au-dessus de chacune de ses tangentes sur cet intervalle.

La fonction $f$ est convexe sur $\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$ et sa tangente au point d'abscisse $0$ est la droite $T$ d'équation $y=x$.

Donc, pour tout $x\in\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$, $f(x)\geqslant x$, c'est-à-dire

Question 3.

On a $f''(x)=2\mathrm{e}^x\cos(x)$ sur $[0\,;\pi]$, avec $2\mathrm{e}^x>0$. Le signe de $f''(x)$ est donc celui de $\cos(x)$.

Sur $\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right[$, $\cos(x)>0$, donc $f''(x)>0$ : $f$ est convexe.

En $x=\dfrac{\pi}{2}$, $\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0$, donc $f''\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0$.

Sur $\left]\dfrac{\pi}{2}\,;\pi\right]$, $\cos(x)<0$, donc $f''(x)<0$ : $f$ est concave.

La dérivée seconde $f''$ s'annule en $\dfrac{\pi}{2}$ en changeant de signe : la courbe $\mathcal{C}_f$ traverse sa tangente en ce point, qui est un point d'inflexion.

Donc le point d'abscisse $\dfrac{\pi}{2}$ de $\mathcal{C}_f$ est un point d'inflexion.

Partie B

Question 1.

Première relation. On intègre $I$ par parties en posant

Les fonctions $u$ et $v$ sont de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$. La formule d'intégration par parties donne

On a $\left[\mathrm{e}^x\sin(x)\right]_0^{\frac{\pi}{2}}=\mathrm{e}^{\frac{\pi}{2}}\times1-\mathrm{e}^0\times0=\mathrm{e}^{\frac{\pi}{2}}$.

Donc

Seconde relation. On intègre $I$ par parties en posant

Ces fonctions sont de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$, donc

On a $\left[-\mathrm{e}^x\cos(x)\right]_0^{\frac{\pi}{2}}=-\mathrm{e}^{\frac{\pi}{2}}\times0-\left(-\mathrm{e}^0\times1\right)=0+1=1$.

Donc

On a bien établi les deux relations $I=1+J$ et $I=\mathrm{e}^{\frac{\pi}{2}}-J$.

Question 2.

On additionne membre à membre les deux relations :

Donc

Question 3.

D'après la question 2. c) de la partie A, $f(x)\geqslant g(x)$ pour tout $x\in\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]$ : sur cet intervalle, $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de $\mathcal{C}_g$, ce que confirme la figure.

Les fonctions $f$ et $g$ étant continues, l'aire $\mathcal{A}$ du domaine hachuré, en unités d'aire, est

Par linéarité de l'intégrale :

D'après la question 2 :

Une valeur approchée est $\mathcal{A}\approx1{,}672$ unités d'aire.

Réponse : $\mathcal{A}=\dfrac{1+\mathrm{e}^{\frac{\pi}{2}}}{2}-\dfrac{\pi^2}{8}$ unités d'aire.

Points clés attendus

• Dériver $f$ et $f'$ avec la formule du produit, puis étudier le signe de $f'$ et de $f''$ en justifiant celui de chaque facteur.

• Utiliser la position d'une courbe convexe par rapport à sa tangente pour obtenir $\mathrm{e}^x\sin(x)\geqslant x$.

• Pour le point d'inflexion : $f''$ s'annule et change de signe en $\dfrac{\pi}{2}$.

• Écrire proprement les deux intégrations par parties (choix de $u$ et $v'$, fonctions de classe $\mathcal{C}^1$, crochet évalué).

• Pour l'aire : justifier la position relative $f\geqslant g$ avant d'intégrer la différence, et préciser l'unité d'aire.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.