Terminale Spé Maths / Chapitre 13 : Sommes de variables aléatoires et concentration / Annales du bac

Bac 2025, Amérique du Nord : exercice 1

22 mai 2025 · jour 2 · 5 points Vrai / Faux

Au basket-ball, il est possible de marquer des paniers rapportant un point, deux points ou trois points.

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

L'entraineur d'une équipe de basket décide d'étudier les statistiques de réussite des lancers de ses joueurs. Il constate qu'à l'entrainement, lorsque Victor tente un panier à trois points, il le réussit avec une probabilité de $0,32$ .

Lors d'un entrainement, Victor effectue une série de $15$ lancers à trois points. On suppose que ces lancers sont indépendants.

On note $N$ la variable aléatoire qui donne le nombre de paniers marqués.

Les résultats des probabilités demandées seront, si nécessaire, arrondis au millième.

On admet que la variable aléatoire $N$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.
Calculer la probabilité que Victor réussisse exactement 4 paniers lors de cette série.
Déterminer la probabilité que Victor réussisse au plus 6 paniers lors de cette série.
Déterminer l'espérance de la variable aléatoire $N$ .
On note $T$ la variable aléatoire qui donne le nombre de points marqués après cette série de lancers.
1. Exprimer $T$ en fonction de $N$ .
2. En déduire l'espérance de la variable aléatoire $T$ . Donner une interprétation de cette valeur dans le contexte de l'exercice.
3. Calculer $P(12 \leqslant T \leqslant 18)$ .

Partie B

On note $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de points marqués par Victor lors d'un match.

On admet que l'espérance $E(X) = 22$ et la variance $V(X) = 65$ .

Victor joue $n$ matchs, où $n$ est un nombre entier strictement positif.

On note $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n}$ les variables aléatoires donnant le nombre de points marqués au cours des $1\mathrm{er},\, 2\mathrm{e},\, \ldots, n$ -ième matchs. On admet que les variables aléatoires $X_{1},\, X_{2},\, \ldots,\, X_{n}$ sont indépendantes et suivent la même loi que celle de $X$ .

On pose $\quad M_{n}=\dfrac{X_{1} + X_{2} + \ldots + X_{n}}{n}$ .

Dans cette question, on prend $n = 50$ .
1. Que représente la variable aléatoire $M_{50}$ ?
2. Déterminer l'espérance et la variance de $M_{50}$ .
3. Démontrer que $P\left(\left|M_{50}-22\right| \geqslant 3\right) \leqslant \dfrac{13}{90}$ .
4. En déduire que la probabilité de l'évènement « $19<M_{50}<25$ » est strictement supérieure à 0,85.
Indiquer, en justifiant, si l'affirmation suivante est vraie ou fausse :

« Il n'existe aucun entier naturel $n$ tel que $P\big(\left|M_{n}-22\right| \geqslant 3\big)< 0,01$ ».

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Partie A

Question 1.

On répète $15$ fois la même expérience : un lancer à trois points de Victor.

Chaque lancer n'a que deux issues : le succès (« le panier est marqué »), de probabilité $0{,}32$ , ou l'échec, de probabilité $0{,}68$ . C'est une épreuve de Bernoulli de paramètre $0{,}32$ .

Les $15$ lancers sont identiques et, d'après l'énoncé, indépendants.

$N$ compte le nombre de succès au cours de ces $15$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.

Donc $N$ suit la loi binomiale de paramètres $n=15$ et $p=0{,}32$ .

Réponse : $N\sim\mathcal{B}(15\,;0{,}32)$ .

Question 2.

Pour une loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;p)$ , on a, pour tout entier $k$ tel que $0\leqslant k\leqslant n$ :

P(N=k)=\binom{n}{k}\,p^k\,(1-p)^{n-k}.

Avec $n=15$ , $p=0{,}32$ et $k=4$ :

P(N=4)=\binom{15}{4}\times0{,}32^{4}\times0{,}68^{11}.

On a $\dbinom{15}{4}=1365$ .

On obtient, à la calculatrice :

P(N=4)\approx0{,}206.

Donc la probabilité que Victor réussisse exactement $4$ paniers lors de cette série est environ $0{,}206$ (arrondie au millième).

Réponse : $P(N=4)=\dbinom{15}{4}\times0{,}32^{4}\times0{,}68^{11}\approx0{,}206$ .

Question 3.

Réussir au plus $6$ paniers correspond à l'évènement $\{N\leqslant6\}$ .

On a $P(N\leqslant6)=\displaystyle\sum_{k=0}^{6}\binom{15}{k}\,0{,}32^k\,0{,}68^{15-k}$ .

À la calculatrice (fonction de répartition de la loi binomiale), on obtient :

P(N\leqslant6)\approx0{,}828.

Donc la probabilité que Victor réussisse au plus $6$ paniers lors de cette série est environ $0{,}828$ (arrondie au millième).

Réponse : $P(N\leqslant6)\approx0{,}828$ .

Question 4.

Pour une variable aléatoire $N$ qui suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;p)$ , on a $E(N)=np$ .

Donc

E(N)=15\times0{,}32=4{,}8.

Donc, sur un grand nombre de séries de $15$ lancers, Victor réussit en moyenne $4{,}8$ paniers par série.

Réponse : $E(N)=4{,}8$ .

Question 5. a)

Chaque panier marqué à trois points rapporte $3$ points, et un lancer manqué n'en rapporte aucun.

Donc le nombre de points marqués est le triple du nombre de paniers marqués :

T=3N.

Question 5. b)

Par linéarité de l'espérance, pour tout réel $a$ , $E(aN)=a\,E(N)$ .

Donc

E(T)=E(3N)=3\,E(N)=3\times4{,}8=14{,}4.

Interprétation : si Victor répète de nombreuses fois des séries de $15$ lancers à trois points, il marque en moyenne $14{,}4$ points par série.

Réponse : $E(T)=14{,}4$ .

Question 5. c)

Comme $T=3N$ , on a les équivalences :

12\leqslant T\leqslant18\iff12\leqslant3N\leqslant18\iff4\leqslant N\leqslant6.

Les évènements $\{12\leqslant T\leqslant18\}$ et $\{4\leqslant N\leqslant6\}$ sont donc identiques.

Comme $N$ ne prend que des valeurs entières, les valeurs de $N$ comprises entre $4$ et $6$ sont celles de $\{N\leqslant6\}$ qui ne sont pas dans $\{N\leqslant3\}$ :

P(4\leqslant N\leqslant6)=P(N\leqslant6)-P(N\leqslant3).

À la calculatrice, $P(N\leqslant3)\approx0{,}242$ et $P(N\leqslant6)\approx0{,}828$ .

Donc

P(12\leqslant T\leqslant18)\approx0{,}828-0{,}242=0{,}586.

Donc la probabilité que Victor marque entre $12$ et $18$ points lors de cette série est environ $0{,}586$ (arrondie au millième).

Réponse : $P(12\leqslant T\leqslant18)\approx0{,}586$ .

Partie B

Question 1. a)

La variable $M_{50}=\dfrac{X_1+X_2+\dots+X_{50}}{50}$ est la moyenne des nombres de points marqués lors de chacun des $50$ matchs.

Donc $M_{50}$ représente le nombre moyen de points marqués par Victor par match, sur une série de $50$ matchs.

Question 1. b)

Espérance. Par linéarité de l'espérance, et comme chaque $X_i$ a la même loi que $X$ :

E(M_{50})=\dfrac{1}{50}\left(E(X_1)+\dots+E(X_{50})\right)=\dfrac{50\,E(X)}{50}=E(X)=22.

Variance. Les variables $X_1,\dots,X_{50}$ sont indépendantes, donc la variance de leur somme est la somme de leurs variances. De plus, $V(aY)=a^2V(Y)$ pour tout réel $a$ .

Donc

V(M_{50})=\dfrac{1}{50^2}\left(V(X_1)+\dots+V(X_{50})\right)=\dfrac{50\,V(X)}{50^2}=\dfrac{V(X)}{50}=\dfrac{65}{50}=1{,}3.

Donc $E(M_{50})=22$ et $V(M_{50})=1{,}3$ .

Réponse : $E(M_{50})=22$ et $V(M_{50})=1{,}3$ .

Question 1. c)

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : pour toute variable aléatoire $Y$ d'espérance $E(Y)$ et de variance $V(Y)$ , et pour tout réel $\delta>0$ ,

P\left(\left|Y-E(Y)\right|\geqslant\delta\right)\leqslant\dfrac{V(Y)}{\delta^2}.

On l'applique à $Y=M_{50}$ , d'espérance $22$ et de variance $1{,}3$ (question précédente), avec $\delta=3>0$ :

P\left(\left|M_{50}-22\right|\geqslant3\right)\leqslant\dfrac{1{,}3}{3^2}=\dfrac{1{,}3}{9}=\dfrac{13}{90}.

Donc $P\left(\left|M_{50}-22\right|\geqslant3\right)\leqslant\dfrac{13}{90}$ .

Question 1. d)

On a les équivalences :

19<M_{50}<25\iff-3<M_{50}-22<3\iff\left|M_{50}-22\right|<3.

L'évènement $\{19<M_{50}<25\}$ est donc le contraire de l'évènement $\{\left|M_{50}-22\right|\geqslant3\}$ .

Donc, d'après la question précédente :

P(19<M_{50}<25)=1-P\left(\left|M_{50}-22\right|\geqslant3\right)\geqslant1-\dfrac{13}{90}=\dfrac{77}{90}.

Or $\dfrac{77}{90}\approx0{,}8556>0{,}85$ .

Donc la probabilité de l'évènement « $19<M_{50}<25$ » est strictement supérieure à $0{,}85$ .

Question 2.

L'affirmation est fausse.

Soit $n$ un entier naturel non nul. Par le même calcul qu'à la question 1. b), on a

E(M_n)=22\qquad\text{et}\qquad V(M_n)=\dfrac{V(X)}{n}=\dfrac{65}{n}.

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, appliquée à $M_n$ avec $\delta=3$ , donne

P\left(\left|M_n-22\right|\geqslant3\right)\leqslant\dfrac{65}{9n}.

Cherchons $n$ tel que $\dfrac{65}{9n}<0{,}01$ :

\dfrac{65}{9n}<0{,}01\iff n>\dfrac{65}{9\times0{,}01}=\dfrac{6500}{9}\approx722{,}2.

Prenons $n=723$ . On a

P\left(\left|M_{723}-22\right|\geqslant3\right)\leqslant\dfrac{65}{9\times723}=\dfrac{65}{6507}\approx0{,}00999<0{,}01.

Donc il existe un entier naturel $n$ (par exemple $n=723$ ) tel que $P\left(\left|M_n-22\right|\geqslant3\right)<0{,}01$ : l'affirmation est fausse.

Points clés attendus

Justifier la loi binomiale : $15$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, de probabilité de succès $0{,}32$ .
Utiliser la linéarité de l'espérance pour $T=3N$ , et interpréter $E(T)$ en contexte.
Passer de $T$ à $N$ pour $P(12\leqslant T\leqslant18)$ , puis utiliser $P(N\leqslant6)-P(N\leqslant3)$ .
Calculer $E(M_{50})$ et $V(M_{50})$ en citant l'indépendance, puis citer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec ses hypothèses.
Passer à l'évènement contraire pour minorer $P(19<M_{50}<25)$ .
Pour le vrai/faux, exhiber un entier $n$ qui convient (majoration en $\dfrac{65}{9n}$ ).

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Comment t'entraîner

Chronomètre-toi, rédige sur papier comme le jour du bac, puis seulement après regarde le cours. Si tu bloques sur une question, écris « on admet que… » et passe à la suivante.

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Revoir le cours

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Source : sujet officiel de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat, session 2025 (Amérique du Nord, 22 mai 2025 (jour 2)), ministère de l'Éducation nationale. Énoncé mis en forme pour le web à partir du tapuscrit de l'APMEP (Denis Vergès et François Hache) ; figures issues des fichiers de l'APMEP. En cas de doute sur un détail, le sujet officiel fait foi.

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