Bac 2025, Asie : exercice 1

Le repère est orthonormé.

On calcule d'abord, coordonnée par coordonnée :

La droite $(d)$ admet pour vecteur directeur $\vec{v}\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}$ (coefficients de $t$ dans la représentation paramétrique).

Affirmation 1. Fausse.

Les points $A$, $B$, $C$ définissent un plan s'ils ne sont pas alignés, c'est-à-dire si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires. Or $\overrightarrow{AB}$ a une deuxième coordonnée nulle et celle de $\overrightarrow{AC}$ vaut $2\neq0$ : les deux vecteurs ne sont jamais colinéaires, quelle que soit la valeur de $\alpha$. Cette première partie de l'affirmation est vraie.

Un vecteur est normal au plan $(ABC)$ s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan. On calcule

Le vecteur $\vec{\jmath}$ n'est pas orthogonal à $\overrightarrow{AC}$ : il n'est donc normal au plan $(ABC)$ pour aucune valeur de $\alpha$.

Donc l'affirmation est fausse.

Affirmation 2. Fausse.

Les droites $(AC)$ et $(d)$ sont parallèles si et seulement si $\overrightarrow{AC}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires, c'est-à-dire s'il existe un réel $k$ tel que $\overrightarrow{AC}=k\vec{v}$ :

La deuxième équation donne $k=1$.

La première équation donne alors $\alpha=2$, et la troisième donne $\alpha=-1$ : contradiction.

Le système n'a pas de solution, donc il n'existe aucune valeur de $\alpha$ pour laquelle $(AC)$ et $(d)$ sont parallèles.

Donc l'affirmation est fausse (il n'existe pas « exactement une » valeur, il n'en existe aucune).

Affirmation 3. Vraie.

On a $\overrightarrow{AO}\begin{pmatrix}-1\\-1\\0\end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$.

Les normes sont $AO=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+0^2}=\sqrt2$ et $AB=1$.

Le produit scalaire est $\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{AB}=(-1)\times1+(-1)\times0+0\times0=-1$.

Comme le repère est orthonormé :

L'angle géométrique $\widehat{OAB}$ appartient à $[0\,;180]$ degrés et son cosinus vaut $-\dfrac{\sqrt2}{2}$, donc $\widehat{OAB}=135^\circ$.

Donc l'affirmation est vraie.

Affirmation 4. Fausse.

Le projeté orthogonal de $A$ sur $(d)$ appartient à $(d)$. Cherchons si $H(1\,;2\,;2)$ est sur $(d)$ : l'égalité $y=2t$ donne $2=2t$, soit $t=1$, mais alors $x=1+1=2\neq1$.

Donc $H\notin(d)$ : $H$ ne peut pas être le projeté orthogonal de $A$ sur $(d)$.

Pour information, le projeté est le point $M(t)\,(1+t\,;2t\,;-t)$ tel que $\overrightarrow{AM}\cdot\vec{v}=0$. On a $\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix}t\\2t-1\\-t\end{pmatrix}$, d'où

qui s'annule pour $t=\dfrac13$. Le projeté orthogonal est donc $\left(\dfrac43\,;\dfrac23\,;-\dfrac13\right)$.

Donc l'affirmation est fausse.

Affirmation 5. Vraie.

Un point $M(1+t\,;2t\,;-t)$ de $(d)$ appartient à la sphère de centre $O$ et de rayon $1$ si et seulement si $OM^2=1$ :

Les deux valeurs de $t$ sont distinctes et correspondent à des points distincts de $(d)$ :

• pour $t=0$ : le point $(1\,;0\,;0)$

• pour $t=-\dfrac13$ : le point $\left(\dfrac23\,;-\dfrac23\,;\dfrac13\right)$.

Donc l'affirmation est vraie : la sphère rencontre $(d)$ en deux points distincts.

Points clés attendus

• Affirmation 1 : distinguer l'existence du plan (non colinéarité) de la normalité du vecteur proposé (produit scalaire avec un vecteur du plan).

• Parallélisme de droites : colinéarité de vecteurs directeurs et système sans solution.

• Angle : formule du cosinus avec produit scalaire et normes, en précisant que le repère est orthonormé.

• Projeté orthogonal : le point doit appartenir à la droite, puis vérifier l'orthogonalité.

• Intersection droite/sphère : écrire $OM^2=1$ en fonction de $t$ et résoudre l'équation du second degré obtenue.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.