Bac 2025, Amérique du Nord : exercice 2

Partie A

Question 1. a)

On a $u_0=2$ et $u_{n+1}=\sqrt{u_n}$.

Donc

Puis

Réponse : $u_1=\sqrt{2}$ et $u_2=2^{\frac14}=\sqrt[4]{2}$.

Question 1. b)

À la calculatrice, on obtient $u_0=2$, $u_1\approx1{,}4142$, $u_2\approx1{,}1892$, $u_3\approx1{,}0905$, $u_4\approx1{,}0443$, et ainsi de suite.

On conjecture que la suite $(u_n)$ est décroissante et qu'elle converge vers $1$.

Question 2. a)

On note $P(n)$ la propriété : « $1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n$ ».

Initialisation. On a $u_0=2$ et $u_1=\sqrt{2}$, et $1\leqslant\sqrt{2}\leqslant2$. Donc $1\leqslant u_1\leqslant u_0$ : $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k$ un entier naturel fixé tel que $P(k)$ soit vraie, c'est-à-dire

(hypothèse de récurrence). Montrons que $P(k+1)$ est vraie, c'est-à-dire $1\leqslant u_{k+2}\leqslant u_{k+1}$.

La fonction racine carrée est strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$. Tous les nombres $1$, $u_{k+1}$ et $u_k$ appartiennent à cet intervalle, donc on peut l'appliquer à chaque membre de l'hypothèse de récurrence en conservant le sens des inégalités :

Or $\sqrt{1}=1$, $\sqrt{u_{k+1}}=u_{k+2}$ et $\sqrt{u_k}=u_{k+1}$. On obtient

Donc $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, $1\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n$.

Question 2. b)

D'après la question précédente, pour tout entier $n$, $u_{n+1}\leqslant u_n$ : la suite $(u_n)$ est décroissante.

De plus, pour tout entier $n$, $u_{n+1}\geqslant1$, et $u_0=2\geqslant1$ : la suite $(u_n)$ est minorée par $1$.

D'après le théorème de la limite monotone (toute suite décroissante et minorée converge), la suite $(u_n)$ est convergente.

Question 2. c)

Soit $x\in[0\,;+\infty[$. Les deux membres de l'équation $\sqrt{x}=x$ sont positifs, donc elle équivaut à l'équation obtenue en élevant au carré :

Un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul : $x=0$ ou $x=1$.

Les deux valeurs appartiennent à $[0\,;+\infty[$.

Réponse : l'ensemble des solutions est $\{0\,;1\}$.

Question 2. d)

D'après la question 2. b), la suite $(u_n)$ converge. On note $\ell$ sa limite.

Pour tout entier $n$, $u_n\geqslant1$. Par passage à la limite dans l'inégalité, $\ell\geqslant1$.

La fonction racine carrée est continue sur $[0\,;+\infty[$ et $u_n\in[0\,;+\infty[$ pour tout $n$. Donc, en passant à la limite dans l'égalité $u_{n+1}=\sqrt{u_n}$ :

d'où $\ell=\sqrt{\ell}$.

D'après la question 2. c), $\ell=0$ ou $\ell=1$. Comme $\ell\geqslant1$, on a $\ell=1$.

Donc la suite $(u_n)$ converge vers $1$.

Réponse : $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=1$.

Partie B

Question 1. a)

Pour tout entier $n$, $u_n\geqslant1>0$, donc $v_n=\ln(u_n)$ est bien défini.

Pour tout entier naturel $n$ :

Donc la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $\dfrac12$, de premier terme $v_0=\ln(u_0)=\ln(2)$.

Question 1. b)

Le terme général d'une suite géométrique de premier terme $v_0$ et de raison $q$ est $v_n=v_0\,q^n$.

Donc, pour tout entier naturel $n$ :

Question 1. c)

Par définition, $v_n=\ln(u_n)$. D'après la question précédente :

En multipliant les deux membres par $2^n>0$ :

Question 2. a)

On calcule les termes de la suite à la calculatrice :

On a $u_6\approx1{,}01089\geqslant1{,}01$, donc $u_6\notin\,]0{,}99\,;1{,}01[$.

La suite étant décroissante, ses termes d'indice inférieur à $6$ sont supérieurs à $u_6$, donc supérieurs à $1{,}01$ : aucun n'appartient à l'intervalle.

On a $u_7\approx1{,}00543$, et $0{,}99<1{,}00543<1{,}01$.

Donc le plus petit entier $k$ tel que $u_k\in\,]0{,}99\,;1{,}01[$ est $k=7$, et $u_7\approx1{,}00543$ à $10^{-5}$ près.

Réponse : $k=7$ et $u_7\approx1{,}00543$.

Question 2. b)

Comme $u_7\in\,]0{,}99\,;1{,}01[$, on prend $x-1$ comme approximation de $\ln(x)$ pour $x=u_7$ :

Question 2. c)

D'après la question 1. c) avec $n=7$ :

D'après la question précédente :

Donc on obtient l'approximation $\ln(2)\approx0{,}695$.

Réponse : $\ln(2)\approx0{,}695$.

Question 3.

Dans l'algorithme, la boucle while remplace $a$ par $\sqrt{a}$ tant que $a\geqslant1{,}01$, et la variable n compte le nombre de racines carrées prises.

À la sortie de la boucle, on a $a<1{,}01$ et $\texttt{a}=a_{\text{initial}}^{\,1/2^n}$. Comme $a_{\text{initial}}>1$, on a aussi $\texttt{a}>1$.

Comme à la question 1. c), $\ln\left(a_{\text{initial}}\right)=2^n\ln(\texttt{a})$.

Comme a est proche de $1$, on approche $\ln(\texttt{a})$ par $\texttt{a}-1$. Donc

On complète donc l'instruction manquante par 2**n * (a-1) :

from math import *
def Briggs(a):
    n = 0
    while a >= 1.01:
        a = sqrt(a)
        n = n+1
    L = 2**n * (a-1)
    return L

Points clés attendus

• Récurrence rédigée : initialisation, hérédité avec la croissance de la fonction racine carrée, conclusion.

• Citer le théorème de la limite monotone : suite décroissante et minorée.

• Pour la limite, utiliser la continuité de la racine carrée pour obtenir $\ell=\sqrt{\ell}$, puis écarter $0$ grâce à $\ell\geqslant1$.

• Pour $(v_n)$ : la propriété $\ln\left(\sqrt{u_n}\right)=\dfrac12\ln(u_n)$ donne le caractère géométrique.

• Justifier que $k=7$ est le plus petit indice (comparer $u_6$ et $u_7$ à $1{,}01$).

• Dans l'algorithme, relier la sortie à la formule $\ln(a)=2^n\ln(\texttt{a})\approx2^n(\texttt{a}-1)$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.