Bac 2025, Amérique du Nord : exercice 2

Le repère est orthonormé (note du rédacteur), ce qui autorise l'emploi du produit scalaire pour les questions d'orthogonalité.

D'après sa représentation paramétrique, la droite $\mathrm{D}$ passe par le point de coordonnées $(3\,;-2\,;1)$ et admet pour vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix}-1\\3\\4\end{pmatrix}$.

D'après son équation cartésienne $2x-3y+z-6=0$, le plan $P$ admet pour vecteur normal $\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}$.

Affirmation 1. Vraie.

La droite $\mathrm{D}'$ a pour vecteur directeur $\vec{u}'\begin{pmatrix}2\\-6\\-8\end{pmatrix}$.

On a

Les vecteurs directeurs $\vec{u}$ et $\vec{u}'$ sont colinéaires, donc les droites $\mathrm{D}$ et $\mathrm{D}'$ sont parallèles (ou confondues).

Donc l'affirmation est vraie : $\mathrm{D}'$ est parallèle à $\mathrm{D}$.

Affirmation 2. Fausse.

On calcule, coordonnée par coordonnée :

Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires (les points $A$, $B$, $C$ ne sont pas alignés, ce qui est admis) : ils dirigent le plan $(ABC)$.

Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si son vecteur directeur est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan.

Or

Le vecteur $\vec{u}$ n'est pas orthogonal à $\overrightarrow{AB}$.

Donc l'affirmation est fausse : $\mathrm{D}$ n'est pas orthogonale au plan $(ABC)$.

Affirmation 3. Fausse.

Les vecteurs directeurs $\vec{u}\begin{pmatrix}-1\\3\\4\end{pmatrix}$ de $\mathrm{D}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix}$ de $\Delta$ ne sont pas colinéaires : $\dfrac{2}{-1}=-2$ et $\dfrac{-3}{3}=-1$ sont différents. Les droites ne sont donc pas parallèles.

Elles sont sécantes si et seulement s'il existe un couple $(t\,;t')$ vérifiant le système

La première équation donne $t=7-2t'$.

On remplace dans la deuxième équation :

D'où $t=7-12=-5$.

On remplace dans la troisième équation :

• membre de gauche : $1+4\times(-5)=-19$

• membre de droite : $2+6=8$.

On a $-19\neq8$ : le système n'a pas de solution.

Les droites $\mathrm{D}$ et $\Delta$ n'ont aucun point commun et ne sont pas parallèles : elles sont non coplanaires, donc non sécantes.

Donc l'affirmation est fausse.

Affirmation 4. Vraie.

Le point $F$ est le projeté orthogonal de $E$ sur $P$ si et seulement si $F\in P$ et $\overrightarrow{EF}$ est colinéaire à un vecteur normal de $P$.

Appartenance : en remplaçant les coordonnées de $F(-3\,;-3\,;3)$ dans l'équation de $P$ :

Donc $F\in P$.

Colinéarité : on calcule

Donc $(EF)$ est orthogonale au plan $P$.

Donc l'affirmation est vraie : $F$ est le projeté orthogonal de $E$ sur $P$.

Affirmation 5. Fausse.

Le plan $P'$ d'équation $-3x+y-a^{2}z+3=0$ admet pour vecteur normal $\vec{n}'\begin{pmatrix}-3\\1\\-a^{2}\end{pmatrix}$.

La droite $\mathrm{D}$ est parallèle au plan $P'$ si et seulement si $\vec{u}$ est orthogonal à $\vec{n}'$ (le cas où $\mathrm{D}$ est incluse dans $P'$ est compris dans le parallélisme).

On calcule

Alors

Il existe donc deux valeurs de $a$ et non une seule.

Donc l'affirmation est fausse : les valeurs de $a$ sont $\pm\sqrt{\dfrac{3}{2}}$.

Points clés attendus

• Traduire parallélisme et orthogonalité par la colinéarité ou la nullité d'un produit scalaire de vecteurs directeurs et normaux.

• Pour l'orthogonalité droite/plan : un seul produit scalaire non nul avec un vecteur du plan suffit à conclure par la négative.

• Pour des droites non parallèles : résoudre le système et exhiber la contradiction, puis conclure sur l'absence de point commun.

• Projeté orthogonal : vérifier les deux conditions (le point est dans le plan et $\overrightarrow{EF}$ est normal au plan).

• Dernière affirmation : résoudre $a^{2}=\dfrac{3}{2}$ et ne pas oublier la valeur négative.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.