Bac 2023, Polynésie : exercice 4

Les trois points A$(6;-6;6)$, B$(-6;0;6)$ et C$(-2;-2;11)$ donnent :

Question 1. Réponse d.

La droite $(d)$ est orthogonale aux droites (AB) et (BC) : un vecteur directeur de $(d)$ est orthogonal à $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ et à $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$.

On calcule les produits scalaires pour chaque proposition :

• $\vec{u_1}\begin{pmatrix}-6\\3\\0\end{pmatrix}$ : $\vec{u_1}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}=72+18+0=90\neq0$. Écarté.

• $\vec{u_2}\begin{pmatrix}1\\2\\6\end{pmatrix}$ : $\vec{u_2}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}=-12+12+0=0$, mais $\vec{u_2}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BC}}=4-4+30=30\neq0$. Écarté.

• $\vec{u_3}\begin{pmatrix}1\\2\\0{,}2\end{pmatrix}$ : $\vec{u_3}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}=0$, mais $\vec{u_3}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BC}}=4-4+1=1\neq0$. Écarté.

• $\vec{u_4}\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$ : $\vec{u_4}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AB}}=-12+12+0=0$ et $\vec{u_4}\cdot\overrightarrow{\mathrm{BC}}=4-4+0=0$.

Le vecteur $\vec{u_4}$ est orthogonal aux deux vecteurs non colinéaires $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ : c'est un vecteur directeur de $(d)$.

Réponse : d.

Question 2. Réponse c.

On a $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\begin{pmatrix}-12\\6\\0\end{pmatrix}=-6\begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix}$ : un vecteur directeur de (AB) est $\begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix}$.

Les directions des propositions sont :

• a. $\begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}$, b. $\begin{pmatrix}2\\0\\-1\end{pmatrix}$, d. $\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}$ : aucune n'est colinéaire à $\begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix}$. Écartées.

• c. $\begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix}$ : la direction convient.

Pour la proposition c., le paramètre $t=0$ donne $(6\,;\,-6\,;\,6)=\mathrm{A}$ et le paramètre $t=-6$ donne $(-6\,;\,0\,;\,6)=\mathrm{B}$.

La droite de la proposition c. passe par A et B : c'est la droite (AB).

Réponse : c.

Question 3. Réponse c.

La représentation paramétrique de $(d')$ est de la forme $\mathrm{M}=\mathrm{M}_0+t\,\vec{v}$ avec le vecteur $\vec{v}\begin{pmatrix}-8\\4\\5\end{pmatrix}$ des coefficients de $t$.

Le vecteur $\vec{v_3}\begin{pmatrix}8\\-4\\-5\end{pmatrix}=-\vec{v}$ est colinéaire à $\vec{v}$ : c'est un vecteur directeur de $(d')$.

Les autres propositions ne sont pas colinéaires à $\vec{v}$ : par exemple, $\vec{v_4}\begin{pmatrix}8\\4\\5\end{pmatrix}$ a une deuxième coordonnée de signe opposé à celle de $-\vec{v}$, et $\vec{v_1}$, $\vec{v_2}$ ne conservent pas les rapports entre coordonnées ($\vec{v_1}$ a une deuxième coordonnée nulle).

Réponse : c.

Question 4. Réponse a.

Un point appartient à $(d')$ si et seulement si un même paramètre $t$ vérifie les trois équations.

• $\mathrm{M}_1(50;-28;-29)$ : $-6-8t=50$ donne $t=-7$. Alors $4t=-28$ et $6+5t=6-35=-29$ : les trois équations sont vérifiées. $\mathrm{M}_1\in(d')$.

• $\mathrm{M}_2(-14;-4;1)$ : $-6-8t=-14$ donne $t=1$, mais $4t=4\neq-4$. Écarté.

• $\mathrm{M}_3(2;-4;-1)$ : $-6-8t=2$ donne $t=-1$   alors $4t=-4$ mais $6+5t=1\neq-1$. Écarté.

• $\mathrm{M}_4(-3;0;3)$ : $-6-8t=-3$ donne $t=-\dfrac38$, mais $4t=-\dfrac32\neq0$. Écarté.

Réponse : a.

Question 5. Réponse a.

Le plan d'équation $x=1$ s'écrit $1\times x+0\times y+0\times z-1=0$. Un vecteur normal est donc le vecteur des coefficients $(1;0;0)$.

Les vecteurs $\vec{n_2}$, $\vec{n_3}$, $\vec{n_4}$ ne sont pas colinéaires à $\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$.

Réponse : a. $\vec{n_1}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$.

Points clés attendus

• Un vecteur directeur d'une droite orthogonale à deux droites sécantes est orthogonal à leurs deux vecteurs directeurs : tester les deux produits scalaires.

• Pour une représentation paramétrique, vérifier à la fois la direction et un point de la droite.

• Pour l'appartenance d'un point à une droite, vérifier que le même paramètre $t$ convient pour les trois coordonnées.

• Lire un vecteur normal sur les coefficients de $x$, $y$, $z$ d'une équation cartésienne de plan.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.