Bac 2023, Polynésie : exercice 2

Partie A

Question 1.

Limite en $-\infty$. On a $\lim\limits_{x\to-\infty}\left(x+\dfrac12\right)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to-\infty}\mathrm{e}^{-x}=+\infty$ (car $-x\to+\infty$).

Par produit, $\lim\limits_{x\to-\infty}\left(x+\dfrac12\right)\mathrm{e}^{-x}=-\infty$.

Comme $\lim\limits_{x\to-\infty}x=-\infty$, par somme,

Limite en $+\infty$. La forme $\left(x+\dfrac12\right)\mathrm{e}^{-x}$ est indéterminée (produit d'une limite infinie par une limite nulle). On développe :

D'après le théorème des croissances comparées, $\lim\limits_{x\to+\infty}x\,\mathrm{e}^{-x}=\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x}{\mathrm{e}^{x}}=0$.

De plus $\lim\limits_{x\to+\infty}\mathrm{e}^{-x}=0$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}x=+\infty$. Par somme,

Réponse : $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.

Question 2. a)

La fonction $f$ est le produit de $u(x)=x+\dfrac12$ et $v(x)=\mathrm{e}^{-x}$, plus la fonction $x\mapsto x$. On a $u'(x)=1$ et $v'(x)=-\mathrm{e}^{-x}$.

D'après la formule $(uv)'=u'v+uv'$, pour tout réel $x$,

On dérive à nouveau, avec $u_1(x)=\dfrac12-x$ ($u_1'(x)=-1$) et $v(x)=\mathrm{e}^{-x}$ :

Donc, pour tout réel $x$, $f''(x)=\left(x-\dfrac32\right)\mathrm{e}^{-x}$.

Question 2. b)

Pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^{-x}>0$ : le signe de $f''(x)$ est celui de $x-\dfrac32$.

• Pour $x<\dfrac32$, $f''(x)<0$ : $f'$ est strictement décroissante sur $\left]-\infty;\dfrac32\right]$.

• Pour $x>\dfrac32$, $f''(x)>0$ : $f'$ est strictement croissante sur $\left[\dfrac32;+\infty\right[$.

Donc $f'$ admet un minimum sur $\mathbb{R}$, atteint en $x=\dfrac32$ :

Réponse : $f'$ décroît sur $\left]-\infty;\dfrac32\right]$, croît sur $\left[\dfrac32;+\infty\right[$, et son minimum est $1-\mathrm{e}^{-3/2}\approx0{,}777$.

Question 2. c)

D'après la question précédente, pour tout réel $x$,

Comme $-\dfrac32<0$, on a $0<\mathrm{e}^{-3/2}<1$, donc $1-\mathrm{e}^{-3/2}>0$.

Donc, pour tout réel $x$, $f'(x)>0$.

Question 2. d)

D'après la question 2. c), $f'>0$ sur $\mathbb{R}$ : la fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

De plus $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ (car dérivable), avec

Le réel $0$ appartient à l'intervalle image $\mathbb{R}$. D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection) pour une fonction continue et strictement monotone, l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $\mathbb{R}$, notée $\alpha$.

Question 2. e)

À la calculatrice :

Comme $f$ est strictement croissante et que $f(-0{,}286)<0<f(-0{,}285)$, on a $-0{,}286<\alpha<-0{,}285$.

Donc $\alpha\approx-0{,}285$ à $10^{-3}$ près (valeur plus précise : $\alpha\approx-0{,}2854$).

Réponse : $\alpha\approx-0{,}285$.

Partie B

Question 1.

Un point d'inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente, c'est-à-dire où la fonction change de convexité.

Sur le graphique, la courbe $\mathcal{C}_h$ est tournée vers le bas (concave) pour les petites valeurs de $x$, puis vers le haut (convexe) pour les grandes valeurs, le changement s'opérant vers $x=1{,}5$.

On conjecture donc un unique point d'inflexion, d'abscisse environ $1{,}5$.

Question 2.

On a $h''(x)=-\dfrac32\mathrm{e}^{-x}+x\,\mathrm{e}^{-x}=\left(x-\dfrac32\right)\mathrm{e}^{-x}$.

Comme $\mathrm{e}^{-x}>0$, le signe de $h''(x)$ est celui de $x-\dfrac32$ : $h''(x)<0$ sur $\left]-\infty;\dfrac32\right[$, $h''\left(\dfrac32\right)=0$ et $h''(x)>0$ sur $\left]\dfrac32;+\infty\right[$.

Donc $h$ est concave sur $\left]-\infty;\dfrac32\right]$ et convexe sur $\left[\dfrac32;+\infty\right[$.

Comme $h''$ s'annule en changeant de signe uniquement en $\dfrac32$, la courbe $\mathcal{C}_h$ admet un unique point d'inflexion, d'abscisse $\dfrac32=1{,}5$.

La conjecture est donc validée.

Question 3.

Les points A$(-2\,;\,-2{,}5)$ et B$(2\,;\,3{,}5)$ ont des abscisses distinctes : la droite (AB) a une équation de la forme $y=mx+p$.

Son coefficient directeur est

Le point B appartient à (AB), donc $3{,}5=1{,}5\times2+p$, soit $p=0{,}5$.

On vérifie avec A : $1{,}5\times(-2)+0{,}5=-2{,}5$.

Donc la droite (AB) a pour équation $y=1{,}5x+0{,}5$.

Réponse : $y=1{,}5x+0{,}5$.

Question 4.

La droite (AB) est tangente à $\mathcal{C}_h$ au point d'abscisse $0$. Donc :

• le point d'abscisse $0$ de la tangente est un point de la courbe : $h(0)=1{,}5\times0+0{,}5=0{,}5$

• le coefficient directeur de la tangente est le nombre dérivé : $h'(0)=1{,}5$.

On a $h(0)=(a\times0+b)\mathrm{e}^{0}+0=b$, donc $b=0{,}5$.

Pour la dérivée, avec $(ax+b)'=a$ :

donc $h'(0)=a-b+1$.

L'égalité $h'(0)=1{,}5$ donne $a-0{,}5+1=1{,}5$, soit $a=1$.

Donc $a=1$ et $b=\dfrac12$ (on retrouve la fonction $f$ de la partie A).

Réponse : $a=1$ et $b=\dfrac12$.

Points clés attendus

• Lever la forme indéterminée en $+\infty$ par développement et croissances comparées.

• Étudier $f''$ pour obtenir les variations de $f'$, puis en déduire le signe de $f'$ à partir du minimum.

• Pour l'unicité de la solution de $f(x)=0$ : citer le théorème des valeurs intermédiaires (ou de la bijection) avec continuité, stricte monotonie et limites aux bornes.

• Un point d'inflexion correspond à un changement de signe de la dérivée seconde.

• Pour la tangente : exploiter à la fois $h(0)$ (appartenance à la courbe) et $h'(0)$ (coefficient directeur).

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