Bac 2024, Amérique du Nord : exercice 2

Question 1. Réponse c.

Un vecteur directeur de la droite $(AB)$ est

La droite $(AB)$ passe par $A(1\,;0\,;3)$. Une représentation paramétrique de $(AB)$ est donc

C'est la proposition c. On le vérifie : $t=0$ donne $A(1\,;0\,;3)$ et $t=1$ donne $B(4\,;1\,;0)$.

Les autres propositions sont à écarter :

• la proposition a a pour vecteur directeur $(1\,;0\,;3)$, non colinéaire à $\overrightarrow{AB}$ (la deuxième coordonnée de $\overrightarrow{AB}$ est non nulle)

• la proposition b a pour vecteur directeur $(4\,;1\,;0)$, non colinéaire à $\overrightarrow{AB}$ (la troisième coordonnée de $\overrightarrow{AB}$ est non nulle)

• la proposition d a pour vecteur directeur $(1\,;0\,;-3)$, non colinéaire à $\overrightarrow{AB}$ (la deuxième coordonnée de $\overrightarrow{AB}$ est non nulle).

Donc une représentation paramétrique de $(AB)$ est celle de la proposition c.

Question 2. Réponse d.

Un point $(x\,;y\,;z)$ appartient à $(d)$ si et seulement s'il existe un réel $t$ tel que $x=3+4t$, $y=6t$ et $z=4-2t$.

Pour $R(-3\,;-9\,;7)$ :

Les trois équations ont la même solution $t=-\dfrac32$, donc $R\in(d)$.

On écarte les autres propositions en cherchant une coordonnée incompatible :

• pour $M(7\,;6\,;6)$ : $y=6$ donne $t=1$, mais alors $z=4-2=2\neq 6$, donc $M\notin(d)$

• pour $N(3\,;6\,;4)$ : $x=3$ donne $t=0$, mais alors $y=0\neq 6$, donc $N\notin(d)$

• pour $P(4\,;6\,;-2)$ : $y=6$ donne $t=1$, mais alors $x=3+4=7\neq 4$, donc $P\notin(d)$.

Donc le point qui appartient à la droite $(d)$ est $R$.

Question 3. Réponse b.

Un vecteur directeur de $(d)$ est $\vec{u}(4\,;6\,;-2)$ et un vecteur directeur de $(d')$ est $\vec{v}(3\,;-2\,;1)$.

Ces vecteurs ne sont pas colinéaires : si l'on avait $\vec{u}=\lambda\vec{v}$, la première coordonnée donnerait $\lambda=\dfrac43$, alors que la deuxième donnerait $\lambda=-3$.

Donc les droites $(d)$ et $(d')$ ne sont ni parallèles ni confondues. Il reste à savoir si elles sont sécantes ou non coplanaires.

Un point commun correspond à un couple $(t\,;k)$ de réels vérifiant le système

On résout les deux premières équations. En multipliant la première par $2$ et la deuxième par $3$ :

En ajoutant membre à membre, on obtient $26t=-13$, donc $t=-\dfrac12$. La deuxième équation donne alors $-3+2k=-1$, soit $k=1$.

On reporte dans la troisième équation : $4-2t=4+1=5$ et $1+k=2$. Or $5\neq 2$ : le système n'a pas de solution.

Les droites $(d)$ et $(d')$ n'ont donc aucun point commun. Deux droites non parallèles et sans point commun ne sont pas contenues dans un même plan.

Donc les droites $(d)$ et $(d')$ sont non coplanaires.

Question 4. Réponse a.

Le plan $(P)$ est perpendiculaire à la droite $(d)$, donc un vecteur directeur de $(d)$ est un vecteur normal à $(P)$. On peut prendre $\vec{u}(4\,;6\,;-2)$, ou le vecteur colinéaire $\vec{n}(2\,;3\,;-1)=\dfrac12\vec{u}$.

Une équation cartésienne de $(P)$ est donc de la forme

Le point $I(2\,;1\,;0)$ appartient à $(P)$ :

Une équation de $(P)$ est $2x+3y-z-7=0$, c'est la proposition a.

On écarte les autres propositions :

• la proposition b a pour vecteur normal $(-1\,;1\,;-4)$ et la proposition d a pour vecteur normal $(2\,;1\,;0)$ : ils ne sont pas colinéaires à $\vec{n}$

• la proposition c a pour vecteur normal $(4\,;6\,;-2)$, colinéaire à $\vec{n}$, mais $I$ ne vérifie pas l'équation : $4\times 2+6\times 1-2\times 0+9=23\neq 0$.

Donc une équation du plan $(P)$ est $2x+3y-z-7=0$.

Points clés attendus

• Question 1 : calculer $\overrightarrow{AB}$ coordonnée par coordonnée et vérifier que la représentation choisie passe bien par $A$ et par $B$.

• Question 2 : trouver le même paramètre $t$ pour les trois coordonnées, ou exhiber une coordonnée incompatible pour éliminer un point.

• Question 3 : montrer d'abord la non-colinéarité des vecteurs directeurs, puis l'absence de point commun en résolvant le système   seules deux droites non parallèles sans point commun sont non coplanaires.

• Question 4 : le vecteur directeur de $(d)$ est un vecteur normal à $(P)$   déterminer la constante avec le point $I$ et ne pas se contenter d'un vecteur normal colinéaire.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.