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Terminale Spé Maths / Chapitre 11 : Orthogonalité et distances dans l'espace / Annales du bac

Bac 2023, Nouvelle-Calédonie : exercice 3

28 août 2023 · jour 1 · 5 points QCM

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.
Une réponse fausse, une absence de réponse, ou une réponse multiple, ne rapporte ni n'enlève de point.

  1. On considère la fonction ff définie sur R\mathbb{R} par: f(x)=(x+1)exf(x) = (x + 1)\text{e}^x.

    Une primitive FF de ff sur R\mathbb{R} est définie par:

    a. F(x)=1+xexF(x) = 1+x\mathrm{e}^xb. F(x)=(1+x)exF(x) = (1+x)\mathrm{e}^x
    c. F(x)=(2+x)exF(x) = (2 + x)\mathrm{e}^xd. F(x)=(x22+x)exF(x) = \left(\dfrac{x^2}{2} + x\right)\mathrm{e}^x.

Dans toute la suite de l'exercice, on se place dans l'espace muni d'un repère orthonormé (O ; ı⃗, ȷ⃗, k⃗)\left(\mathrm{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)

  1. On considère les droites (d1)\left(d_1\right) et (d2)\left(d_2\right) dont des représentations paramétriques sont respectivement:

    (d1){x=2+ry=1+rz=−r (r∈R)\left(d_1\right)\left\{\begin{array}{l c r} x&=&2+r\\ y&=&1 + r\\ z&=&- r \end{array}\right. \,(r \in \mathbb{R})  et (d2){x=−1−sy=−1+sz=−2−s (s∈R)\left(d_2\right)\left\{\begin{array}{l c l} x&=&\phantom{-}1 - s\\ y&=&-1 + s\\ z&=&\phantom{-}2 - s \end{array}\right. \,(s \in \mathbb{R})

    Les droites (d1)\left(d_1\right) et (d2)\left(d_2\right) sont:

    a. sécantes.b. strictement parallèles.
    c. confondues.d. non coplanaires.

  2. On considère le plan (P)(P) dont une équation cartésienne est:

    2x−y+z−1=0.2x - y + z - 1 = 0.
    On considère la droite (Δ)(\Delta) dont une représentation paramétrique est:
    {x=2+uy=4+uz=1−u (u∈R)\left\{\begin{array}{l c r} x&=&2 + u\\ y&=&4 + u\\ z&=&1 - u \end{array}\right. \,(u \in \mathbb{R})
    La droite (Δ)(\Delta) est:

    a. sécante et non orthogonale au plan (P)(P).b. incluse dans le plan (P)(P).
    c. strictement parallèle au plan (P)(P).d.  orthogonale au plan (P)(P).

  3. On considère le plan (P1)\left(P_1\right) dont une équation cartésienne est x−2y+z+1=0x - 2y + z + 1 = 0, ainsi que le plan (P2)\left(P_2\right) dont une équation cartésienne est 2x+y+z−6=02x + y + z - 6 = 0.

    Les plans (P1)\left(P_1\right) et (P2)\left(P_2\right) sont:

    a. sécants et perpendiculaires.b.  confondus.
    c.  sécants et non perpendiculaires.d.  strictement parallèles.

  4. On considère les points E(1   2   1), F(2   4   3) et G(−2  ;  2  ;  5)(-2\;;\; 2\;;\;5).

    On peut affirmer que la mesure α\alpha de l'angle FEG^\widehat{\text{FEG}} vérifie:

    a.  α=90∘\alpha = 90^\circb. α>90∘\alpha > 90^\circc.  α=0∘\alpha = 0^\circd.  α≈71∘\alpha \approx 71^\circ
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Question 1. Réponse a.

Une fonction FF est une primitive de ff sur R\mathbb{R} si FF est dérivable sur R\mathbb{R} et F′=fF'=f. On dérive donc chaque proposition.

Proposition a.a. : F(x)=1+xexF(x)=1+x\mathrm{e}^x. On utilise (uv)′=u′v+uv′(uv)'=u'v+uv' avec u(x)=xu(x)=x et v(x)=exv(x)=\mathrm{e}^x :

F′(x)=ex+xex=(1+x)ex=f(x).F'(x)=\mathrm{e}^x+x\mathrm{e}^x=(1+x)\mathrm{e}^x=f(x).

Donc la fonction proposée en a.a. est une primitive de ff.

Les autres propositions sont à écarter :

  • b.b. : F′(x)=ex+(1+x)ex=(2+x)ex≠f(x)F'(x)=\mathrm{e}^x+(1+x)\mathrm{e}^x=(2+x)\mathrm{e}^x\neq f(x)

  • c.c. : F′(x)=ex+(2+x)ex=(3+x)ex≠f(x)F'(x)=\mathrm{e}^x+(2+x)\mathrm{e}^x=(3+x)\mathrm{e}^x\neq f(x)

  • d.d. : F′(x)=(x+1)ex+(x22+x)ex=(x22+2x+1)ex≠f(x)F'(x)=(x+1)\mathrm{e}^x+\left(\dfrac{x^2}{2}+x\right)\mathrm{e}^x=\left(\dfrac{x^2}{2}+2x+1\right)\mathrm{e}^x\neq f(x).

Question 2. Réponse a.

Un vecteur directeur de (d1)(d_1) est u1⃗(11−1)\vec{u_1}\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix} et un vecteur directeur de (d2)(d_2) est u2⃗(−11−1)\vec{u_2}\begin{pmatrix}-1\\1\\-1\end{pmatrix}.

Ces vecteurs ne sont pas colinéaires : si u2⃗=k u1⃗\vec{u_2}=k\,\vec{u_1}, la première coordonnée donne k=−1k=-1, la deuxième donne k=1k=1, ce qui est contradictoire.

Donc les droites ne sont ni parallèles ni confondues : les propositions b.b. et c.c. sont fausses.

On cherche un éventuel point commun : il correspond à un couple (r ;s)(r\,;s) vérifiant

{2+r=1−s1+r=−1+s−r=2−s\begin{cases}2+r=1-s\\1+r=-1+s\\-r=2-s\end{cases}

On additionne les deux premières équations :

3+2r=0,doncr=−32.3+2r=0,\quad\text{donc}\quad r=-\dfrac32.

La deuxième équation donne s=2+r=12s=2+r=\dfrac12.

On vérifie la troisième équation : −r=32-r=\dfrac32 et 2−s=2−12=322-s=2-\dfrac12=\dfrac32. Elle est vérifiée.

Le système admet donc une solution : les droites ont un point commun, de coordonnées (avec r=−32r=-\dfrac32)

(2−32 ;1−32 ;32)=(12 ;−12 ;32).\left(2-\dfrac32\,;1-\dfrac32\,;\dfrac32\right)=\left(\dfrac12\,;-\dfrac12\,;\dfrac32\right).

Deux droites non parallèles qui ont un point commun sont sécantes. Donc (d1)(d_1) et (d2)(d_2) sont sécantes, et la proposition d.d. est fausse.

Question 3. Réponse b.

Un vecteur normal à (P)(P) est n⃗(2−11)\vec{n}\begin{pmatrix}2\\-1\\1\end{pmatrix} et un vecteur directeur de (Δ)(\Delta) est v⃗(11−1)\vec{v}\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix}.

On calcule le produit scalaire :

n⃗⋅v⃗=2×1+(−1)×1+1×(−1)=2−1−1=0.\vec{n}\cdot\vec{v}=2\times1+(-1)\times1+1\times(-1)=2-1-1=0.

Donc v⃗\vec{v} est orthogonal à n⃗\vec{n} : la droite (Δ)(\Delta) est parallèle au plan (P)(P) ou incluse dans (P)(P). Elle n'est donc ni sécante à (P)(P), ni orthogonale à (P)(P) : les propositions a.a. et d.d. sont fausses.

Le point M(2 ;4 ;1)M(2\,;4\,;1) (paramètre u=0u=0) appartient à (Δ)(\Delta). On teste l'équation de (P)(P) :

2×2−4+1−1=4−4+1−1=0.2\times2-4+1-1=4-4+1-1=0.

Donc M∈(P)M\in(P). Une droite parallèle au plan et ayant un point dans le plan est incluse dans ce plan.

Donc (Δ)(\Delta) est incluse dans le plan (P)(P), et la proposition c.c. (strictement parallèle) est fausse.

Question 4. Réponse c.

Un vecteur normal à (P1)(P_1) est n1⃗(1−21)\vec{n_1}\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix} et un vecteur normal à (P2)(P_2) est n2⃗(211)\vec{n_2}\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}.

Ces vecteurs ne sont pas colinéaires : si n2⃗=k n1⃗\vec{n_2}=k\,\vec{n_1}, la première coordonnée donne k=2k=2 et la deuxième donne k=−12k=-\dfrac12, ce qui est contradictoire.

Donc les plans ne sont ni parallèles ni confondus : ils sont sécants. Les propositions b.b. et d.d. sont fausses.

On calcule le produit scalaire des vecteurs normaux :

n1⃗⋅n2⃗=1×2+(−2)×1+1×1=2−2+1=1≠0.\vec{n_1}\cdot\vec{n_2}=1\times2+(-2)\times1+1\times1=2-2+1=1\neq0.

Les vecteurs normaux ne sont pas orthogonaux : les plans ne sont pas perpendiculaires. La proposition a.a. est fausse.

Donc les plans (P1)(P_1) et (P2)(P_2) sont sécants et non perpendiculaires.

Question 5. Réponse d.

On calcule les coordonnées des vecteurs :

EF→(2−14−23−1)=(122),EG→(−2−12−25−1)=(−304).\overrightarrow{EF}\begin{pmatrix}2-1\\4-2\\3-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix},\qquad\overrightarrow{EG}\begin{pmatrix}-2-1\\2-2\\5-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\0\\4\end{pmatrix}.

Produit scalaire :

EF→⋅EG→=1×(−3)+2×0+2×4=−3+0+8=5.\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{EG}=1\times(-3)+2\times0+2\times4=-3+0+8=5.

Normes :

EF=1+4+4=3,EG=9+0+16=5.EF=\sqrt{1+4+4}=3,\qquad EG=\sqrt{9+0+16}=5.

Comme EF→⋅EG→=EF×EG×cos⁡α\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{EG}=EF\times EG\times\cos\alpha :

cos⁡α=53×5=13.\cos\alpha=\dfrac{5}{3\times5}=\dfrac13.

Donc α=arccos⁡13≈70,5∘\alpha=\arccos\dfrac13\approx70{,}5^\circ, soit α≈71∘\alpha\approx71^\circ à l'unité près.

On élimine les autres propositions : cos⁡α=13\cos\alpha=\dfrac13 n'est ni 00 (donc α≠90∘\alpha\neq90^\circ), ni 11 (donc α≠0∘\alpha\neq0^\circ), et cos⁡α>0\cos\alpha>0 donne α<90∘\alpha<90^\circ.

Donc α≈71∘\alpha\approx71^\circ.

Points clés attendus

  • Question 1 : vérifier une primitive en dérivant, avec la formule du produit.

  • Question 2 : montrer la non-colinéarité des vecteurs directeurs, puis résoudre le système en vérifiant la troisième équation.

  • Question 3 : produit scalaire nul entre vecteur directeur et vecteur normal, puis test d'un point de la droite dans l'équation du plan.

  • Question 4 : non-colinéarité des vecteurs normaux (sécants) et produit scalaire non nul (non perpendiculaires).

  • Question 5 : calculer produit scalaire et normes, puis déduire cos⁡α\cos\alpha et une valeur approchée de l'angle.

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Chronomètre-toi, rédige sur papier comme le jour du bac, puis seulement après regarde le cours. Si tu bloques sur une question, écris « on admet que… » et passe à la suivante.

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Source : sujet officiel de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat, session 2023 (Nouvelle-Calédonie, 28 août 2023 (jour 1)), ministère de l'Éducation nationale. Énoncé mis en forme pour le web à partir du tapuscrit de l'APMEP (Denis Vergès) ; figures issues des fichiers de l'APMEP. En cas de doute sur un détail, le sujet officiel fait foi.

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