Bac 2023, Polynésie : exercice 1

Les données de l'énoncé se traduisent ainsi :

Un client souhaite acquérir soit un véhicule électrique, soit un véhicule thermique, et pas les deux : les évènements $E$ et $T$ sont incompatibles et $P(E)+P(T)=1$. Ils forment donc une partition de l'univers.

Question 1. a)

L'évènement « le client souhaite un véhicule électrique et a consulté la plate-forme » est $E\cap C$. D'après la formule des probabilités conditionnelles,

Donc la probabilité qu'un client souhaite acquérir un véhicule électrique et ait consulté la plate-forme numérique est $0{,}1$.

Réponse : $P(E\cap C)=0{,}1$.

Question 1. b)

Les évènements $E$ et $T$ forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales,

On a $P(E\cap C)=0{,}1$ (question 1. a) et

Donc

On a bien démontré que $P(C)=0{,}4$.

Question 1. c)

On cherche la probabilité de $E$ sachant $C$ :

Donc, sachant qu'un client a consulté la plate-forme numérique, la probabilité qu'il souhaite acheter un véhicule à moteur électrique est $0{,}25$.

Réponse : $P_C(E)=0{,}25$.

Question 2. a)

On considère un client comme une épreuve de Bernoulli dont le succès est « le client souhaite acquérir un véhicule à moteur électrique », de probabilité $p=P(E)=0{,}2$.

La concession accueille $17$ clients, qui font des choix indépendants les uns des autres : on répète donc $n=17$ fois, de façon identique et indépendante, cette épreuve de Bernoulli.

La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès : elle suit la loi binomiale de paramètres $n=17$ et $p=0{,}2$, notée $\mathcal{B}(17\,;\,0{,}2)$.

Réponse : $X\sim\mathcal{B}(17\,;\,0{,}2)$.

Question 2. b)

On cherche $P(X\geqslant3)$. L'évènement contraire de $X\geqslant3$ est $X\leqslant2$, donc

Avec $P(X=k)=\binom{17}{k}\,0{,}2^k\,0{,}8^{17-k}$ :

Donc $P(X\leqslant2)\approx0{,}3096$ et

Donc, arrondie à $10^{-2}$ près, la probabilité qu'au moins trois clients souhaitent acheter un véhicule à moteur électrique lors d'une journée est $0{,}69$.

Réponse : $P(X\geqslant3)\approx0{,}69$ (valeur plus précise : $0{,}6904$).

Points clés attendus

• Traduire les données en probabilités ($P(E)$, $P_E(C)$, $P_T(C)$) et nommer la partition $\{E\,;\,T\}$ pour la formule des probabilités totales.

• Distinguer $P_E(C)$ et $P_C(E)$ : la question 1. c) se traite avec la formule de la probabilité conditionnelle.

• Justifier la loi binomiale : épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, avec $n=17$ et $p=0{,}2$.

• Passer par l'évènement contraire pour calculer $P(X\geqslant3)$ et respecter l'arrondi demandé.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.