Bac 2023, Polynésie : exercice 3

Question 1.

La fonction $f$ est un polynôme du second degré, dérivable sur $\mathbb{R}$, et

On résout $f'(x)\geqslant0$ :

Donc $f'(x)<0$ pour $x<\dfrac43$, $f'\left(\dfrac43\right)=0$ et $f'(x)>0$ pour $x>\dfrac43$.

La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur $\left]-\infty;\dfrac43\right]$ et strictement croissante sur $\left[\dfrac43;+\infty\right[$.

Son minimum est atteint en $\dfrac43$ :

Réponse : $f$ décroît sur $\left]-\infty;\dfrac43\right]$, croît sur $\left[\dfrac43;+\infty\right[$, minimum $f\left(\dfrac43\right)=\dfrac53$.

Question 2.

Soit $x\in\left[\dfrac43;2\right]$. D'après la question 1, $f$ est croissante sur $\left[\dfrac43;+\infty\right[$, donc sur $\left[\dfrac43;2\right]$, d'où

On a $f\left(\dfrac43\right)=\dfrac53$ et $f(2)=\dfrac34\times4-4+3=2$.

Comme $\dfrac43\leqslant\dfrac53$, on obtient

Donc, pour tout $x\in\left[\dfrac43;2\right]$, $f(x)\in\left[\dfrac43;2\right]$.

Question 3.

Pour tout réel $x$,

Un carré est positif ou nul, donc $f(x)-x\geqslant0$ pour tout réel $x$.

Donc, pour tout réel $x$, $x\leqslant f(x)$.

Question 4. a)

On suppose $\dfrac43\leqslant u_0\leqslant2$. Pour tout entier naturel $n$, on note $P(n)$ la propriété :

Cette propriété contient l'encadrement de $u_n$ dans $\left[\dfrac43;2\right]$, nécessaire pour appliquer la croissance de $f$, et entraîne l'inégalité demandée $u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant2$.

Initialisation. On a $u_0\in\left[\dfrac43;2\right]$, donc $u_1=f(u_0)\in\left[\dfrac43;2\right]$ d'après la question 2. De plus $u_1=f(u_0)\geqslant u_0$ d'après la question 3. Donc $\dfrac43\leqslant u_0\leqslant u_1\leqslant2$ : $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k$ un entier naturel fixé tel que $P(k)$ soit vraie, c'est-à-dire

Montrons $P(k+1)$.

Les réels $u_k$ et $u_{k+1}$ appartiennent à $\left[\dfrac43;2\right]$, intervalle sur lequel $f$ est croissante (question 1). On applique $f$ à l'inégalité $u_k\leqslant u_{k+1}$, sans changer le sens :

Comme $u_{k+1}\in\left[\dfrac43;2\right]$, la question 2 donne $u_{k+2}=f(u_{k+1})\in\left[\dfrac43;2\right]$, donc $u_{k+2}\leqslant2$.

Par l'hypothèse de récurrence, $\dfrac43\leqslant u_k\leqslant u_{k+1}$, donc $\dfrac43\leqslant u_{k+1}$.

On a donc $\dfrac43\leqslant u_{k+1}\leqslant u_{k+2}\leqslant2$ : $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$.

En particulier, pour tout entier naturel $n$, $u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant2$.

Question 4. b)

D'après la question 4. a), pour tout $n$, $u_n\leqslant u_{n+1}$ : la suite $(u_n)$ est croissante. De plus, $u_n\leqslant2$ pour tout $n$ : elle est majorée par $2$.

D'après le théorème de la limite monotone (toute suite croissante et majorée converge), la suite $(u_n)$ est convergente.

Question 4. c)

Soit $\ell$ la limite de $(u_n)$ (elle existe d'après la question 4. b).

La suite $(u_{n+1})$ converge aussi vers $\ell$. La fonction $f$ est continue sur $\mathbb{R}$ (polynôme) et $u_{n+1}=f(u_n)$ : par passage à la limite, $\ell=f(\ell)$.

D'après la question 3, $f(\ell)-\ell=\dfrac34(\ell-2)^2$. L'égalité $f(\ell)=\ell$ équivaut donc à

Donc la limite de la suite $(u_n)$ est égale à $2$.

Question 5.

On cherche le plus petit entier $n$ tel que $u_n\geqslant100$. La boucle doit donc se poursuivre tant que $u<100$   à chaque passage, on remplace $u$ par $f(u)$ et on incrémente $n$.

La fonction complétée est :

def seuil():
    u = 3
    n = 0
    while u < 100:
        u = 3/4 * u**2 - 2*u + 3
        n = n + 1
    return n

Trace d'exécution : on calcule les termes successifs, avec $u_0=3$ :

On a $u_3<100$ et $u_4\geqslant100$, donc la boucle s'arrête avec $n=4$ et la fonction renvoie $4$.

Réponse : while u < 100, u = 3/4 * u**2 - 2*u + 3, n = n + 1   la fonction renvoie $4$.

Question 6.

On suppose $u_0>2$ et l'on raisonne par l'absurde : on suppose que la suite $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$.

Comme à la question 4. c), la continuité de $f$ donne $\ell=f(\ell)$, donc $\ell=2$.

D'autre part, d'après la question 3, pour tout $n$, $u_{n+1}=f(u_n)\geqslant u_n$ : la suite $(u_n)$ est croissante. Donc, pour tout $n$, $u_n\geqslant u_0>2$.

Par passage à la limite dans l'inégalité $u_n\geqslant u_0$, on obtient $\ell\geqslant u_0>2$.

Ceci contredit $\ell=2$.

L'hypothèse de convergence est donc absurde : la suite $(u_n)$ n'est pas convergente.

Points clés attendus

• Pour la stabilité de l'intervalle $\left[\dfrac43;2\right]$ : utiliser les variations de $f$ et les valeurs $f\left(\dfrac43\right)=\dfrac53$ et $f(2)=2$.

• Établir $f(x)-x=\dfrac34(x-2)^2$ pour en déduire $u_{n+1}\geqslant u_n$.

• Rédiger la récurrence avec l'hypothèse de récurrence et l'appel explicite à la croissance de $f$ sur l'intervalle.

• Citer le théorème de la limite monotone, puis la continuité de $f$ pour justifier $\ell=f(\ell)$.

• Pour la question 6, structurer le raisonnement par l'absurde : hypothèse, conséquence $\ell=2$, contradiction avec $\ell\geqslant u_0>2$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.