Bac 2023, La Réunion : exercice 3

Question 1.

La droite $(d)$ passe par $A(1\,;1\,;0)$ et admet pour vecteur directeur $\vec{u}\begin{pmatrix}0\\2\\-1\end{pmatrix}$.

Un point $M(x\,;y\,;z)$ appartient à $(d)$ si et seulement s'il existe un réel $t$ tel que $\overrightarrow{AM}=t\,\vec{u}$.

Donc une représentation paramétrique de $(d)$ est

Réponse : $(d)\ :\ x=1,\ y=1+2t,\ z=-t$, $t\in\mathbb{R}$.

Question 2.

Un point de $(d)$ de paramètre $t$ appartient à $\mathcal{P}$ si et seulement si ses coordonnées vérifient l'équation de $\mathcal{P}$ :

On développe :

Cette équation d'inconnue $t$ admet une unique solution : la droite $(d)$ et le plan $\mathcal{P}$ ont un unique point commun. Ils sont donc sécants.

On obtient les coordonnées de ce point en remplaçant $t$ par $-1$ :

Vérification dans l'équation de $\mathcal{P}$ : $1+4\times(-1)+2\times1+1=1-4+2+1=0$.

Donc $(d)$ et $\mathcal{P}$ sont sécants au point $B(1\,;-1\,;1)$.

Question 3. a)

On calcule les coordonnées de deux vecteurs :

Supposons qu'il existe un réel $k$ tel que $\overrightarrow{AC}=k\,\overrightarrow{AB}$. La deuxième coordonnée donne $-2=-2k$, donc $k=1$. La troisième coordonnée donne $-1=k\times1$, donc $k=-1$. C'est contradictoire.

Donc $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires.

Donc les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés : ils définissent bien un plan.

Question 3. b)

Un vecteur est normal à un plan s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan. D'après la question 3. a), $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$.

On calcule les produits scalaires avec $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$ :

Donc $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(ABC)$.

Donc $\vec{n}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan $(ABC)$.

Question 3. c)

Le plan $(ABC)$ a pour vecteur normal $\vec{n}(1\,;0\,;0)$. Il admet donc une équation cartésienne de la forme $x+d=0$, où $d$ est un réel.

Le point $A(1\,;1\,;0)$ appartient au plan : $1+d=0$, donc $d=-1$.

Donc une équation cartésienne de $(ABC)$ est $x-1=0$.

Vérification : $B(1\,;-1\,;1)$ et $C(1\,;-1\,;-1)$ ont pour abscisse $1$, donc ils vérifient aussi $x-1=0$.

Réponse : $(ABC)\ :\ x-1=0$.

Question 4. a)

On calcule les longueurs avec la formule de la distance dans un repère orthonormé :

Donc $AB=AC$.

Donc le triangle $ABC$ est isocèle en $A$.

Question 4. b)

Le point $H$ est le milieu de $[BC]$ avec $B(1\,;-1\,;1)$ et $C(1\,;-1\,;-1)$. Ses coordonnées sont

On en déduit $\overrightarrow{AH}\begin{pmatrix}0\\-2\\0\end{pmatrix}$, donc

On calcule aussi $\overrightarrow{BC}\begin{pmatrix}0\\0\\-2\end{pmatrix}$, donc $BC=2$.

Le triangle $ABC$ est isocèle en $A$ et $H$ est le milieu de la base $[BC]$ : la médiane $(AH)$ est aussi la hauteur issue de $A$. On peut le vérifier : $\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC}=0\times0+(-2)\times0+0\times(-2)=0$.

L'aire du triangle est donc

Donc $AH=2$ et l'aire du triangle $ABC$ est égale à $2$ (en unités d'aire).

Réponse : $AH=2$   $\mathcal{A}_{ABC}=2$.

Question 5. a)

Avec $B(1\,;-1\,;1)$ et $D(0\,;-1\,;1)$, on a

Donc $\overrightarrow{BD}$ est colinéaire au vecteur normal $\vec{n}$ du plan $(ABC)$. La droite $(BD)$ est donc orthogonale au plan $(ABC)$.

De plus, $B$ appartient au plan $(ABC)$ : la droite $(BD)$ coupe ce plan en $B$.

Donc $(BD)$ est la droite perpendiculaire au plan $(ABC)$ passant par $D$, et $B$ est le projeté orthogonal de $D$ sur $(ABC)$.

Donc la droite $(BD)$ est une hauteur de la pyramide $ABCD$ (relative à la base $ABC$).

Question 5. b)

La hauteur correspondant à la base $ABC$ est $h=BD=\sqrt{(-1)^2+0^2+0^2}=1$.

L'aire de la base $ABC$ est $\mathcal{B}=2$ d'après la question 4. b).

On applique la formule du volume d'une pyramide :

Donc le volume de la pyramide $ABCD$ est $\dfrac23$ (en unités de volume).

Réponse : $V=\dfrac23$.

Points clés attendus

• Résoudre l'équation en $t$ obtenue en injectant la représentation paramétrique dans l'équation du plan, et conclure à l'unicité du point d'intersection.

• Justifier la non-colinéarité de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ avant d'affirmer que $A$, $B$, $C$ définissent un plan.

• Pour un vecteur normal : deux produits scalaires nuls avec deux vecteurs non colinéaires du plan.

• Déterminer $d$ en utilisant les coordonnées de $A$ dans l'équation de plan.

• Pour la hauteur : montrer que $\overrightarrow{BD}$ est colinéaire à $\vec{n}$ et que $B$ est dans le plan $(ABC)$, puis appliquer la formule du volume.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.