Bac 2023, La Réunion : exercice 2

Question 1.

On a $u_0=8$ et $u_1=\dfrac{6u_0+2}{u_0+5}$.

Donc

Réponse : $u_1=\dfrac{50}{13}$.

Question 2. a)

La fonction $f$ est une fonction rationnelle, définie et dérivable sur $[0\,;+\infty[$ car son dénominateur $x+5$ ne s'annule pas sur cet intervalle.

On pose $u(x)=6x+2$ et $v(x)=x+5$, de sorte que $u'(x)=6$ et $v'(x)=1$. On utilise la formule de dérivation d'un quotient :

On développe le numérateur :

Donc, pour tout $x\geqslant0$ :

Le numérateur $28$ est strictement positif et le dénominateur $(x+5)^2$ est strictement positif. Donc $f'(x)>0$ sur $[0\,;+\infty[$.

Donc $f$ est strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$.

On calcule $f(2)=\dfrac{6\times2+2}{2+5}=\dfrac{14}{7}=2$.

Soit $x>2$. Comme $f$ est strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$ et que $x>2$, on a $f(x)>f(2)$.

Donc $f(x)>2$.

Donc, pour tout réel $x>2$, on a $f(x)>2$.

Question 2. b)

Pour tout entier naturel $n$, on note $P(n)$ la propriété $u_n>2$.

Initialisation. On a $u_0=8$ et $8>2$. Donc $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k$ un entier naturel fixé tel que $P(k)$ soit vraie, c'est-à-dire $u_k>2$ (hypothèse de récurrence). Montrons que $P(k+1)$ est vraie, c'est-à-dire $u_{k+1}>2$.

On a $u_k>2$ et $u_k\in[0\,;+\infty[$. D'après la question 2. a), $f$ est strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$ et $f(x)>2$ pour tout $x>2$.

On applique ce résultat avec $x=u_k$ :

Or $f(u_k)=u_{k+1}$. Donc $u_{k+1}>2$ : $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, $P(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$.

Donc, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n>2$.

Question 3. a)

On admet que, pour tout entier naturel $n$ :

D'après la question 2. b), $u_n>2$ pour tout $n$. On étudie le signe de chaque facteur :

• $2-u_n<0$ car $u_n>2$

• $u_n+1>3>0$

• $u_n+5>7>0$.

Le numérateur est le produit d'un nombre strictement négatif et d'un nombre strictement positif : il est strictement négatif. Le dénominateur est strictement positif.

Donc $u_{n+1}-u_n<0$ pour tout entier naturel $n$.

Donc la suite $(u_n)$ est strictement décroissante, en particulier décroissante.

Question 3. b)

La suite $(u_n)$ est décroissante d'après la question 3. a).

Elle est minorée par $2$ d'après la question 2. b).

D'après le théorème de convergence monotone (toute suite décroissante et minorée converge), la suite $(u_n)$ converge.

Donc la suite $(u_n)$ est convergente.

Question 4. a)

On a $v_0=\dfrac{u_0-2}{u_0+1}=\dfrac{8-2}{8+1}=\dfrac69=\dfrac23$.

Réponse : $v_0=\dfrac23$.

Question 4. b)

Pour tout entier naturel $n$, on a $u_n+1>0$ et $u_n+5>0$, donc $v_n$ et $u_{n+1}$ sont bien définis.

On exprime $u_{n+1}-2$ :

On exprime $u_{n+1}+1$ :

Donc

On reconnaît $v_n=\dfrac{u_n-2}{u_n+1}$ :

Donc la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $\dfrac47$, de premier terme $v_0=\dfrac23$.

Question 4. c)

D'après la question 4. b), pour tout entier naturel $n$ :

Comme $-1<\dfrac47<1$, on a $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac47\right)^n=0$ (limite d'une suite géométrique de raison comprise entre $-1$ et $1$).

Donc $\lim\limits_{n\to+\infty}v_n=0$.

Pour en déduire la limite de $(u_n)$, on exprime $u_n$ en fonction de $v_n$. De $v_n=\dfrac{u_n-2}{u_n+1}$, on tire, comme $u_n+1\neq0$ :

On regroupe les termes en $u_n$ :

Comme $v_n\neq1$ (on a $v_n=\dfrac23\left(\dfrac47\right)^n\leqslant\dfrac23$), on obtient

Comme $\lim\limits_{n\to+\infty}v_n=0$, on a par quotient (le dénominateur tend vers $1\neq0$) :

Donc $\lim\limits_{n\to+\infty}v_n=0$ et $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=2$.

Réponse : $\lim\limits_{n\to+\infty}v_n=0$ et $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=2$.

Question 5.

La fonction seuil(A) calcule les termes de la suite $(u_n)$ à partir de $u_0=8$ et s'arrête dès que $u\leqslant A$. Elle renvoie alors le nombre $n$ d'itérations effectuées.

Avec $A=2{,}001$, on calcule les termes de la suite (valeurs approchées) :

On a $u_{13}>2{,}001$ et $u_{14}\leqslant2{,}001$.

La commande seuil(2.001) renvoie donc 14.

Interprétation : $14$ est le plus petit entier $n$ tel que $u_n\leqslant2{,}001$. Comme la suite est décroissante, pour tout $n\geqslant14$, $u_n$ est à une distance inférieure à $10^{-3}$ de sa limite $2$.

Réponse : seuil(2.001) renvoie $14$.

Points clés attendus

• Dériver $f$ avec la formule du quotient, puis justifier le signe de $f'$ pour conclure à la stricte croissance.

• Rédiger la récurrence complète : initialisation, hérédité avec « soit $k$ fixé tel que $\ldots$ », conclusion, en citant la croissance de $f$.

• Étudier le signe de chaque facteur de $u_{n+1}-u_n$ en utilisant $u_n>2$.

• Citer le théorème de convergence monotone avec ses deux hypothèses (décroissante, minorée).

• Pour la suite géométrique, calculer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$   pour la limite de $(u_n)$, exprimer $u_n$ en fonction de $v_n$.

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