Bac 2023, La Réunion : exercice 4

Question 1. Réponse c.

La fonction $f$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$. On dérive avec la formule $(uv)'=u'v+uv'$, où $u(x)=2x$ et $v(x)=\mathrm{e}^x$ :

Comme $2\mathrm{e}^x>0$, le signe de $f'(x)$ est celui de $x+1$ :

• $f'(x)<0$ sur $]-\infty\,;-1[$, donc $f$ est strictement décroissante sur $]-\infty\,;-1]$

• $f'(x)>0$ sur $]-1\,;+\infty[$, donc $f$ est strictement croissante sur $[-1\,;+\infty[$.

Le minimum de $f$ est

Limites : par croissances comparées, $\lim\limits_{x\to-\infty}x\mathrm{e}^x=0$, donc $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=0$. De plus $f(x)<0$ pour $x<0$. En $+\infty$, $\lim\limits_{x\to+\infty}2x=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}\mathrm{e}^x=+\infty$, donc $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.

On cherche le nombre de solutions de $f(x)=-0{,}73$. On a $-\dfrac2{\mathrm{e}}<-0{,}73<0$.

• Sur $]-\infty\,;-1]$, $f$ est continue, strictement décroissante, et prend ses valeurs dans $\left[-\dfrac2{\mathrm{e}}\,;0\right[$. Comme $-0{,}73$ appartient à cet intervalle, le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires donne une unique solution. Elle n'est pas égale à $-1$ car $f(-1)\neq-0{,}73$.

• Sur $[-1\,;+\infty[$, $f$ est continue, strictement croissante, et prend ses valeurs dans $\left[-\dfrac2{\mathrm{e}}\,;+\infty\right[$. Comme $-0{,}73$ appartient à cet intervalle, le même corollaire donne une unique solution.

Ces deux solutions sont distinctes car situées sur des intervalles disjoints (aucune n'est égale à $-1$).

Donc l'équation $f(x)=-\dfrac{73}{100}$ admet exactement $2$ solutions.

Les autres réponses sont à écarter : $0$ et $1$ solution ne correspondent pas au tableau de variations, et une infinité de solutions est impossible pour une fonction strictement monotone par morceaux.

Question 2. Réponse a.

Pour tout réel $x$, $g(x)=\dfrac{x+1}{\mathrm{e}^x}=(x+1)\mathrm{e}^{-x}$.

Quand $x\to-\infty$ :

• $x+1\to-\infty$

• $-x\to+\infty$ donc $\mathrm{e}^{-x}\to+\infty$.

Le produit d'une quantité de limite $-\infty$ et d'une quantité de limite $+\infty$ a pour limite $-\infty$ (ce n'est pas une forme indéterminée).

Donc $\lim\limits_{x\to-\infty}g(x)=-\infty$.

La réponse $c.$ (limite $0$) correspond à la limite en $+\infty$, non demandée ici.

Question 3. Réponse b.

La fonction $h$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$. On dérive avec $u(x)=4x-16$ et $v(x)=\mathrm{e}^{2x}$, de dérivées $u'(x)=4$ et $v'(x)=2\mathrm{e}^{2x}$ :

On dérive à nouveau, avec $u(x)=8x-28$ :

Comme $16\mathrm{e}^{2x}>0$, le signe de $h''(x)$ est celui de $x-3$ :

• $h''(x)<0$ sur $]-\infty\,;3[$ : $h$ est concave sur $]-\infty\,;3]$

• $h''(x)>0$ sur $]3\,;+\infty[$ : $h$ est convexe sur $[3\,;+\infty[$.

Donc $h$ n'est ni convexe sur $\mathbb{R}$, ni concave sur $\mathbb{R}$ : les propositions $a.$ et $c.$ sont fausses.

La dérivée seconde s'annule en $x=3$ en changeant de signe : la courbe $\mathcal{C}_h$ possède un point d'inflexion d'abscisse $3$, et uniquement celui-là. La proposition $d.$ ($x=3{,}5$) est fausse.

Donc la proposition exacte est $b.$ : $\mathcal{C}_h$ possède un point d'inflexion en $x=3$.

Question 4. Réponse b.

La fonction $k$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$ et, pour tout $x>0$ :

On calcule en $x=\mathrm{e}$ :

La tangente $T$ au point d'abscisse $\mathrm{e}$ a pour équation $y=k'(\mathrm{e})(x-\mathrm{e})+k(\mathrm{e})$ :

On développe :

Or $\dfrac3{\mathrm{e}}-1=\dfrac{3-\mathrm{e}}{\mathrm{e}}$.

Donc $T$ a pour équation $y=\dfrac{3-\mathrm{e}}{\mathrm{e}}\,x$.

Les autres propositions sont à écarter : $a.$ a un coefficient directeur $3-\mathrm{e}\neq\dfrac3{\mathrm{e}}-1$   $c.$ et $d.$ ont une ordonnée à l'origine égale à $1$, alors que celle de $T$ est nulle.

Question 5. Réponse c.

L'équation $[\ln(x)]^2+10\ln(x)+21=0$ est définie pour $x>0$.

On pose $X=\ln(x)$. La fonction $\ln$ est une bijection de $]0\,;+\infty[$ sur $\mathbb{R}$ : à chaque réel $X$ correspond un unique $x>0$, à savoir $x=\mathrm{e}^X$.

L'équation devient

Son discriminant est $\Delta=10^2-4\times1\times21=100-84=16>0$. Elle admet deux racines réelles distinctes :

On revient à $x$ : $\ln(x)=-7$ ou $\ln(x)=-3$, donc $x=\mathrm{e}^{-7}$ ou $x=\mathrm{e}^{-3}$.

Donc l'équation admet exactement $2$ solutions.

Points clés attendus

• Question 1 : dresser le tableau de variations de $f$ avec ses limites et son minimum, puis appliquer le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires sur chaque intervalle de stricte monotonie.

• Question 2 : écrire $g(x)=(x+1)\mathrm{e}^{-x}$ et déterminer les limites de chaque facteur.

• Question 3 : calculer $h''$ et étudier son signe   un point d'inflexion correspond à un changement de signe de $h''$.

• Question 4 : appliquer la formule de la tangente $y=k'(a)(x-a)+k(a)$ et développer soigneusement.

• Question 5 : poser $X=\ln(x)$, résoudre l'équation du second degré, puis revenir à $x$ avec l'exponentielle.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.