Bac 2023, La Réunion : exercice 4

Question 1.

Dans le repère orthonormé $\left(\mathrm{D}\,;\overrightarrow{\mathrm{DH}},\overrightarrow{\mathrm{DC}},\overrightarrow{\mathrm{DA}}\right)$, le cube étant d'arête $1$, on a $\mathrm{D}(0\,;0\,;0)$, $\mathrm{H}(1\,;0\,;0)$, $\mathrm{C}(0\,;1\,;0)$ et $\mathrm{A}(0\,;0\,;1)$.

Les autres sommets s'en déduisent : $\mathrm{G}(1\,;1\,;0)$, $\mathrm{B}(0\,;1\,;1)$, $\mathrm{E}(1\,;0\,;1)$ et $\mathrm{F}(1\,;1\,;1)$.

Réponse : $\mathrm{F}(1\,;1\,;1)$ et $\mathrm{C}(0\,;1\,;0)$.

Question 2.

Le point $\mathrm{M}$, centre de la face $\mathrm{BCGF}$ (un carré), est le milieu de la diagonale $[\mathrm{BG}]$.

Avec $\mathrm{B}(0\,;1\,;1)$ et $\mathrm{G}(1\,;1\,;0)$ :

Le point $\mathrm{N}$, centre de la face $\mathrm{EFGH}$ (un carré), est le milieu de la diagonale $[\mathrm{EG}]$.

Avec $\mathrm{E}(1\,;0\,;1)$ et $\mathrm{G}(1\,;1\,;0)$ :

Réponse : $\mathrm{M}\left(\dfrac12\,;1\,;\dfrac12\right)$ et $\mathrm{N}\left(1\,;\dfrac12\,;\dfrac12\right)$.

Question 3. a)

On calcule les coordonnées des vecteurs :

• $\overrightarrow{\mathrm{AG}}$ : $(1-0\,;1-0\,;0-1)=(1\,;1\,;-1)$

• $\overrightarrow{\mathrm{HF}}$ : $(1-1\,;1-0\,;1-0)=(0\,;1\,;1)$

• $\overrightarrow{\mathrm{HC}}$ : $(0-1\,;1-0\,;0-0)=(-1\,;1\,;0)$.

Les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{HF}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{HC}}$ ne sont pas colinéaires : si l'on avait $\overrightarrow{\mathrm{HC}}=\lambda\overrightarrow{\mathrm{HF}}$, la première coordonnée donnerait $-1=\lambda\times0$, ce qui est impossible.

Donc les points $\mathrm{H}$, $\mathrm{F}$, $\mathrm{C}$ ne sont pas alignés, le plan $(\mathrm{HFC})$ existe, et $\overrightarrow{\mathrm{HF}}$, $\overrightarrow{\mathrm{HC}}$ en sont deux vecteurs directeurs non colinéaires.

Produits scalaires :

Donc $\overrightarrow{\mathrm{AG}}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan $(\mathrm{HFC})$.

Donc $\overrightarrow{\mathrm{AG}}$ est un vecteur normal au plan $(\mathrm{HFC})$.

Question 3. b)

Le vecteur $\overrightarrow{\mathrm{AG}}(1\,;1\,;-1)$ est normal au plan $(\mathrm{HFC})$, donc ce plan admet une équation cartésienne de la forme

Le point $\mathrm{H}(1\,;0\,;0)$ appartient au plan, donc $1+0-0+d=0$, soit $d=-1$.

Une équation cartésienne du plan $(\mathrm{HFC})$ est donc

Vérification avec les deux autres points : pour $\mathrm{C}(0\,;1\,;0)$, $0+1-0-1=0$   pour $\mathrm{F}(1\,;1\,;1)$, $1+1-1-1=0$.

Réponse : $(\mathrm{HFC})\,:\ x+y-z-1=0$.

Question 4.

La droite $(\mathrm{AG})$ passe par $\mathrm{A}(0\,;0\,;1)$ et a pour vecteur directeur $\overrightarrow{\mathrm{AG}}(1\,;1\,;-1)$.

Un point $\mathrm{P}(x\,;y\,;z)$ appartient à $(\mathrm{AG})$ si et seulement s'il existe un réel $t$ tel que $\overrightarrow{\mathrm{AP}}=t\,\overrightarrow{\mathrm{AG}}$, c'est-à-dire :

Réponse : $(\mathrm{AG})\,:\ x=t,\ y=t,\ z=1-t,\ t\in\mathbb{R}$.

Question 5.

Le projeté orthogonal de $\mathrm{G}$ sur le plan $(\mathrm{HFC})$ est l'unique point du plan $(\mathrm{HFC})$ tel que le vecteur qui le relie à $\mathrm{G}$ soit orthogonal au plan, c'est-à-dire colinéaire à un vecteur normal. Vérifions ces deux conditions pour $\mathrm{R}\left(\dfrac23\,;\dfrac23\,;\dfrac13\right)$.

$\mathrm{R}$ appartient au plan $(\mathrm{HFC})$. On a

donc les coordonnées de $\mathrm{R}$ vérifient l'équation du plan.

$\overrightarrow{\mathrm{GR}}$ est colinéaire au vecteur normal. On a

Donc $\overrightarrow{\mathrm{GR}}$ est colinéaire à $\overrightarrow{\mathrm{AG}}$, normal au plan $(\mathrm{HFC})$. On remarque aussi que $\mathrm{R}$ appartient à $(\mathrm{AG})$ (pour $t=\dfrac23$ dans la représentation de la question 4).

Donc $\mathrm{R}$ est le projeté orthogonal de $\mathrm{G}$ sur le plan $(\mathrm{HFC})$.

Question 6.

Un point $\mathrm{K}$ de la droite $(\mathrm{FG})$ a pour coordonnées $(1\,;1\,;t)$ avec $t\in\mathbb{R}$.

Avec $\mathrm{M}\left(\dfrac12\,;1\,;\dfrac12\right)$ et $\mathrm{N}\left(1\,;\dfrac12\,;\dfrac12\right)$, on a

Ces vecteurs sont non nuls (leur première ou deuxième coordonnée est non nulle), donc $\mathrm{K}\neq\mathrm{M}$ et $\mathrm{K}\neq\mathrm{N}$.

Le triangle $\mathrm{KMN}$ est rectangle en $\mathrm{K}$ si et seulement si $\overrightarrow{\mathrm{KM}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{KN}}=0$.

On calcule le produit scalaire :

Donc

Il existe donc une unique valeur de $t$, donc un unique point $\mathrm{K}$ de $(\mathrm{FG})$ tel que $\mathrm{KMN}$ soit rectangle en $\mathrm{K}$ : $\mathrm{K}\left(1\,;1\,;\dfrac12\right)$.

Question 7.

Pour $\mathrm{K}\left(1\,;1\,;\dfrac12\right)$, on a $\overrightarrow{\mathrm{KM}}\left(-\dfrac12\,;0\,;0\right)$ et $\overrightarrow{\mathrm{KN}}\left(0\,;-\dfrac12\,;0\right)$, donc $\mathrm{KM}=\mathrm{KN}=\dfrac12$.

Le triangle $\mathrm{KMN}$ est rectangle en $\mathrm{K}$, donc son aire est

Les points $\mathrm{K}$, $\mathrm{M}$, $\mathrm{N}$ ont tous pour cote $\dfrac12$ : ils sont dans le plan d'équation $z=\dfrac12$. Le point $\mathrm{F}(1\,;1\,;1)$ a pour projeté orthogonal $\mathrm{K}$ sur ce plan, car $\overrightarrow{\mathrm{KF}}\left(0\,;0\,;\dfrac12\right)$ est orthogonal à ce plan. La hauteur issue de $\mathrm{F}$ du tétraèdre $\mathrm{FNKM}$ est donc $\mathrm{KF}=\dfrac12$.

Volume d'un tétraèdre : $V=\dfrac13\times\text{aire de la base}\times\text{hauteur}$. Donc

Le cube $\mathrm{ABCDEFGH}$ a pour arête $1$, donc pour volume $1^3=1$.

Donc le tétraèdre $\mathrm{FNKM}$ représente la fraction $\dfrac{1}{48}$ du volume du cube.

Réponse : $\dfrac{1}{48}$.

Points clés attendus

• Calculer les coordonnées vecteur par vecteur et justifier la non-colinéarité de deux vecteurs du plan avant de conclure à la normalité.

• Pour le projeté orthogonal, vérifier les deux conditions : appartenance au plan et colinéarité de $\overrightarrow{\mathrm{GR}}$ avec un vecteur normal.

• Traduire « rectangle en $\mathrm{K}$ » par un produit scalaire nul et résoudre l'équation en $t$ pour conclure à l'unicité.

• Pour le volume, citer la formule $\dfrac13\times\text{base}\times\text{hauteur}$ et justifier que la hauteur est $\mathrm{KF}$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.