Terminale Spé Maths / Chapitre 12 : Succession d'épreuves et loi binomiale / Annales du bac

Bac 2023, La Réunion : exercice 1

29 mars 2023 · jour 2 · 5 points

Chapitre 12 : Succession d'épreuves et loi binomiale

Un commerçant vend deux types de matelas: matelas RESSORTS et matelas MOUSSE.

On suppose que chaque client achète un seul matelas.

On dispose des informations suivantes :

20 % des clients achètent un matelas RESSORTS.

Parmi eux, 90 % sont satisfaits de leur achat.
82 % des clients sont satisfaits de leur achat.

Les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante.

Partie A

On choisit au hasard un client et on note les évènements :

$R$ : « le client achète un matelas RESSORTS »,
$S$ : « le client est satisfait de son achat ».

On note $x = P_{\overline{R}}(S)$ , où $P_{\overline{R}}(S)$ désigne la probabilité de $S$ sachant que $R$ n'est pas réalisé.

Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-contre décrivant la situation.
Démontrer que $x = 0,8$ .
On choisit un client satisfait de son achat.

Quelle est la probabilité qu'il ait acheté un matelas RESSORTS ?

On arrondira le résultat à $10^{-2}$ .

Figure de l'énoncé, exercice 1, La Réunion 29 mars 2023

Partie B

On choisit 5 clients au hasard.

On considère la variable aléatoire $X$ qui donne le nombre de clients satisfaits de leur achat parmi ces 5 clients.
1. On admet que $X$ suit une loi binomiale. Donner ses paramètres.
2. Déterminer la probabilité qu'au plus trois clients soient satisfaits de leur achat.
  
  On arrondira le résultat à $10^{-3}$ .
Soit $n$ un entier naturel non nul.

On choisit à présent $n$ clients au hasard. Ce choix peut être assimilé à un tirage au sort avec remise.
1. On note $p_n$ la probabilité que les $n$ clients soient tous satisfaits de leur achat.
  
  Démontrer que $p_n = 0,82^n$ .
2. Déterminer les entiers naturels $n$ tels que $p_n < 0,01$ .
  
  Interpréter dans le contexte de l'exercice.

Voir le corrigé

Partie A

Question 1.

On traduit les données de l'énoncé en probabilités.

D'après l'énoncé, $20\,\%$ des clients achètent un matelas RESSORTS : $P(R)=0{,}2$ .

Les évènements $R$ et $\overline{R}$ sont contraires, donc

P(\overline{R})=1-P(R)=1-0{,}2=0{,}8.

Parmi les clients qui achètent un matelas RESSORTS, $90\,\%$ sont satisfaits : $P_R(S)=0{,}9$ .

Donc

P_R(\overline{S})=1-0{,}9=0{,}1.

Par définition de $x$ , on a $P_{\overline{R}}(S)=x$ , donc $P_{\overline{R}}(\overline{S})=1-x$ .

L'arbre pondéré complété est donc le suivant :

de la racine vers $R$ : $0{,}2$ , puis de $R$ vers $S$ : $0{,}9$ et de $R$ vers $\overline{S}$ : $0{,}1$
de la racine vers $\overline{R}$ : $0{,}8$ , puis de $\overline{R}$ vers $S$ : $x$ et de $\overline{R}$ vers $\overline{S}$ : $1-x$ .

Question 2.

Les évènements $R$ et $\overline{R}$ forment une partition de l'univers.

D'après la formule des probabilités totales :

P(S)=P(R\cap S)+P(\overline{R}\cap S).

On exprime chaque terme à l'aide des probabilités conditionnelles :

P(S)=P(R)\times P_R(S)+P(\overline{R})\times P_{\overline{R}}(S).

On remplace par les valeurs, sachant que $P(S)=0{,}82$ d'après l'énoncé :

0{,}82=0{,}2\times0{,}9+0{,}8\times x.

Donc

0{,}82=0{,}18+0{,}8\,x.

On isole $x$ :

0{,}8\,x=0{,}82-0{,}18=0{,}64.

D'où

x=\dfrac{0{,}64}{0{,}8}=0{,}8.

Donc $x=0{,}8$ : parmi les clients qui n'achètent pas un matelas RESSORTS, $80\,\%$ sont satisfaits de leur achat.

Question 3.

On cherche la probabilité de $R$ sachant $S$ , c'est-à-dire $P_S(R)$ .

Par définition de la probabilité conditionnelle (avec $P(S)\neq0$ ) :

P_S(R)=\dfrac{P(R\cap S)}{P(S)}.

On a

P(R\cap S)=P(R)\times P_R(S)=0{,}2\times0{,}9=0{,}18.

Donc

P_S(R)=\dfrac{0{,}18}{0{,}82}\approx0{,}22\quad\text{(arrondi à }10^{-2}\text{)}.

Donc, si l'on choisit un client satisfait de son achat, la probabilité qu'il ait acheté un matelas RESSORTS est environ $0{,}22$ .

Réponse : $P_S(R)=\dfrac{0{,}18}{0{,}82}=\dfrac{9}{41}\approx0{,}22$ .

Partie B

Question 1. a)

On choisit $5$ clients au hasard. Pour chaque client, on considère l'épreuve de Bernoulli dont le succès est « le client est satisfait de son achat », de probabilité $P(S)=0{,}82$ .

La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès. Comme on admet que $X$ suit une loi binomiale, ses paramètres sont le nombre d'épreuves et la probabilité d'un succès.

Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=5$ et $p=0{,}82$ .

Réponse : $X\sim\mathcal{B}(5\,;0{,}82)$ .

Question 1. b)

On cherche $P(X\leqslant3)$ .

L'évènement contraire de $\{X\leqslant3\}$ est $\{X\geqslant4\}$ , c'est-à-dire $\{X=4\}$ ou $\{X=5\}$ . Ces deux évènements sont incompatibles, donc

P(X\leqslant3)=1-P(X=4)-P(X=5).

Pour une loi binomiale de paramètres $5$ et $0{,}82$ :

P(X=4)=\binom54\times0{,}82^4\times0{,}18=5\times0{,}82^4\times0{,}18\approx0{,}4069,

P(X=5)=\binom55\times0{,}82^5=0{,}82^5\approx0{,}3707.

Donc

P(X\leqslant3)=1-0{,}4069-0{,}3707\approx0{,}222\quad\text{(arrondi à }10^{-3}\text{)}.

Donc la probabilité qu'au plus trois clients parmi les cinq soient satisfaits de leur achat est environ $0{,}222$ .

Réponse : $P(X\leqslant3)\approx0{,}222$ .

Question 2. a)

Le choix des $n$ clients est assimilé à un tirage avec remise : les $n$ choix sont donc indépendants, et chaque client est satisfait avec la probabilité $0{,}82$ .

L'évènement « les $n$ clients sont tous satisfaits » est l'intersection de $n$ évènements indépendants de probabilité $0{,}82$ .

Donc la probabilité de l'intersection est le produit des probabilités :

p_n=\underbrace{0{,}82\times0{,}82\times\cdots\times0{,}82}_{n\text{ facteurs}}=0{,}82^n.

Donc $p_n=0{,}82^n$ .

Question 2. b)

On résout l'inéquation $0{,}82^n<0{,}01$ d'inconnue $n\in\mathbb{N}^*$ .

La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$ , donc

0{,}82^n<0{,}01\iff\ln\left(0{,}82^n\right)<\ln(0{,}01)\iff n\ln(0{,}82)<\ln(0{,}01).

Comme $0<0{,}82<1$ , on a $\ln(0{,}82)<0$ . On divise donc par $\ln(0{,}82)$ en changeant le sens de l'inégalité :

n>\dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}82)}.

À la calculatrice :

\dfrac{\ln(0{,}01)}{\ln(0{,}82)}\approx23{,}2.

Donc $n\geqslant24$ .

Vérification : $0{,}82^{23}\approx0{,}0104>0{,}01$ et $0{,}82^{24}\approx0{,}0085<0{,}01$ .

Interprétation : à partir de $24$ clients choisis au hasard, la probabilité que tous soient satisfaits de leur achat est strictement inférieure à $1\,\%$ .

Réponse : $p_n<0{,}01$ si et seulement si $n\geqslant24$ .

Points clés attendus

Compléter l'arbre avec les probabilités des branches complémentaires ( $0{,}8$   $0{,}1$   $1-x$ ).
Citer la formule des probabilités totales avec la partition $\{R,\overline{R}\}$ pour obtenir $x$ .
Distinguer $P_S(R)$ de $P_R(S)$ et écrire la définition de la probabilité conditionnelle.
Justifier le schéma de Bernoulli (épreuves identiques et indépendantes) et donner les deux paramètres de la loi binomiale.
Résoudre $0{,}82^n<0{,}01$ avec le logarithme, en changeant le sens de l'inégalité car $\ln(0{,}82)<0$ , puis interpréter.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.

Comment t'entraîner

Chronomètre-toi, rédige sur papier comme le jour du bac, puis seulement après regarde le cours. Si tu bloques sur une question, écris « on admet que… » et passe à la suivante.

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Revoir le cours

Chapitre 12 : Succession d'épreuves et loi binomiale : le cours · exercices type bac corrigés

Source : sujet officiel de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat, session 2023 (La Réunion, 29 mars 2023 (jour 2)), ministère de l'Éducation nationale. Énoncé mis en forme pour le web à partir du tapuscrit de l'APMEP (Denis Vergès) ; figures issues des fichiers de l'APMEP. En cas de doute sur un détail, le sujet officiel fait foi.

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