Bac 2023, Centres étrangers 2 : exercice 4

Question 1.

On calcule les coordonnées des vecteurs, coordonnée par coordonnée, avec $\mathrm{A}(-1\,;-3\,;2)$, $\mathrm{B}(3\,;-2\,;6)$ et $\mathrm{C}(1\,;2\,;-4)$ :

Ces vecteurs ne sont pas colinéaires. En effet, si $\overrightarrow{AB}=k\,\overrightarrow{AC}$, la première coordonnée donnerait $4=2k$, donc $k=2$, et la deuxième donnerait $1=5k=10$, ce qui est faux.

Donc les points A, B et C ne sont pas alignés : ils définissent un unique plan $\mathcal{P}$.

Question 2. a)

On calcule les produits scalaires de $\vec{n}\begin{pmatrix}13\\-16\\-9\end{pmatrix}$ avec $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$, dans le repère orthonormé :

Le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal à $\overrightarrow{AB}$ et à $\overrightarrow{AC}$, qui sont deux vecteurs non colinéaires du plan $\mathcal{P}$ (question 1). Il est donc orthogonal à tout vecteur de $\mathcal{P}$.

Donc $\vec{n}$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.

Question 2. b)

Comme $\vec{n}\begin{pmatrix}13\\-16\\-9\end{pmatrix}$ est normal à $\mathcal{P}$, ce plan admet une équation cartésienne de la forme

Le point $\mathrm{A}(-1\,;-3\,;2)$ appartient à $\mathcal{P}$, donc

Donc $\mathcal{P}$ a pour équation $13x-16y-9z-17=0$.

Vérification avec les deux autres points :

• pour $\mathrm{B}$ : $13\times3-16\times(-2)-9\times6-17=39+32-54-17=0$

• pour $\mathrm{C}$ : $13\times1-16\times2-9\times(-4)-17=13-32+36-17=0$.

Réponse : $\mathcal{P}\,:\ 13x-16y-9z-17=0$.

Question 3.

La droite $\mathcal{D}$ est orthogonale au plan $\mathcal{P}$, donc le vecteur normal $\vec{n}\begin{pmatrix}13\\-16\\-9\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $\mathcal{D}$. De plus, $\mathcal{D}$ passe par $\mathrm{F}(15\,;-16\,;-8)$.

Une représentation paramétrique de $\mathcal{D}$ est donc

Question 4.

Le point $\mathrm{E}$ est le point d'intersection de $\mathcal{D}$ et de $\mathcal{P}$. On commence par vérifier que le point $(2\,;0\,;1)$ appartient aux deux.

Appartenance à $\mathcal{D}$. Pour $t=-1$ :

Appartenance à $\mathcal{P}$.

Le point $(2\,;0\,;1)$ est donc commun à $\mathcal{D}$ et à $\mathcal{P}$.

La droite $\mathcal{D}$ n'est pas parallèle à $\mathcal{P}$, puisque son vecteur directeur $\vec{n}$ est normal à $\mathcal{P}$ (donc non orthogonal à lui-même, car $\vec{n}\cdot\vec{n}=506\neq0$). Elle coupe donc $\mathcal{P}$ en un seul point.

Donc ce point est $\mathrm{E}$ : $\mathrm{E}(2\,;0\,;1)$.

Question 5.

Le point $\mathrm{E}$ appartient à $\mathcal{P}$, et la droite $(\mathrm{FE})=\mathcal{D}$ est orthogonale à $\mathcal{P}$. Donc $\mathrm{E}$ est le projeté orthogonal de $\mathrm{F}$ sur $\mathcal{P}$, et la distance de $\mathrm{F}$ au plan $\mathcal{P}$ est $\mathrm{FE}$.

On a $\overrightarrow{FE}\begin{pmatrix}2-15\\0-(-16)\\1-(-8)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-13\\16\\9\end{pmatrix}$, donc, le repère étant orthonormé,

Vérification par la formule de la distance d'un point à un plan :

Donc la distance du point $\mathrm{F}$ au plan $\mathcal{P}$ est $\sqrt{506}$.

Réponse : $d(\mathrm{F},\mathcal{P})=\sqrt{506}$.

Question 6.

Soit $M_t$ le point de $\mathcal{D}$ de paramètre $t$. Ses coordonnées sont $(15+13t\,;-16-16t\,;-8-9t)$. On a

Le point $\mathrm{E}$ appartient à $\mathcal{P}$ et $\overrightarrow{EM_t}$ est colinéaire au vecteur normal $\vec{n}$. Donc $\mathrm{E}$ est le projeté orthogonal de $M_t$ sur $\mathcal{P}$, et

On cherche les points tels que $d\left(M_t,\mathcal{P}\right)=\dfrac12\,d(\mathrm{F},\mathcal{P})=\dfrac{\sqrt{506}}{2}$ :

c'est-à-dire $t=-\dfrac12$ ou $t=-\dfrac32$.

On reporte dans la représentation paramétrique :

• pour $t=-\dfrac12$ : $x=15-\dfrac{13}{2}=\dfrac{17}{2}$, $y=-16+8=-8$, $z=-8+\dfrac92=-\dfrac72$

• pour $t=-\dfrac32$ : $x=15-\dfrac{39}{2}=-\dfrac92$, $y=-16+24=8$, $z=-8+\dfrac{27}{2}=\dfrac{11}{2}$.

Donc il y a exactement deux points de $\mathcal{D}$ dont la distance à $\mathcal{P}$ est la moitié de celle de $\mathrm{F}$ : $\left(\dfrac{17}{2}\,;-8\,;-\dfrac72\right)$ et $\left(-\dfrac92\,;8\,;\dfrac{11}{2}\right)$.

Réponse : $\left(\dfrac{17}{2}\,;-8\,;-\dfrac72\right)$ et $\left(-\dfrac92\,;8\,;\dfrac{11}{2}\right)$.

Points clés attendus

• Justifier la non-colinéarité de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ avant de parler de plan.

• Vecteur normal : produit scalaire nul avec deux vecteurs non colinéaires du plan.

• Équation du plan : déterminer $d$ avec un point, puis vérifier avec les autres.

• Vérifier que E appartient à la fois à $\mathcal{D}$ et à $\mathcal{P}$, et justifier qu'il est l'unique point d'intersection.

• Question 6 : ne pas oublier le second point (deux valeurs de $t$, car $|t+1|=\dfrac12$).

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.