Bac 2023, Centres étrangers 2 : exercice 3

Question 1. Réponse b.

Une primitive $F$ de $f$ vérifie $F'=f$ sur $\mathbb{R}$. On dérive chaque proposition à l'aide de la formule $(uv)'=u'v+uv'$.

Pour $F(x)=(x-1)\mathrm{e}^x$, avec $u(x)=x-1$ et $v(x)=\mathrm{e}^x$ :

Donc $F(x)=(x-1)\mathrm{e}^x$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$.

Les autres propositions sont à éliminer :

• a. la dérivée de $\dfrac{x^2}{2}\mathrm{e}^x$ est $\left(x+\dfrac{x^2}{2}\right)\mathrm{e}^x\neq x\mathrm{e}^x$

• c. la dérivée de $(x+1)\mathrm{e}^x$ est $(x+2)\mathrm{e}^x\neq x\mathrm{e}^x$

• d. la dérivée de $x^2\mathrm{e}^{x^2}$ est $\left(2x+2x^3\right)\mathrm{e}^{x^2}\neq x\mathrm{e}^x$.

Réponse : b.

Question 2. Réponse c., c'est-à-dire la proposition $]-\infty\,;-2[\,\cup\,]1\,;+\infty[$.

Dans l'énoncé, la lettre c apparaît deux fois   la bonne réponse est la proposition contenant la réunion d'intervalles.

La fonction $\ln$ est définie sur $]0\,;+\infty[$. Donc $g(x)$ existe si et seulement si $2x+4\neq0$ et $\dfrac{x-1}{2x+4}>0$.

Le numérateur $x-1$ s'annule en $1$ et le dénominateur $2x+4$ s'annule en $-2$. On étudie le signe du quotient :

• pour $x<-2$ : $x-1<0$ et $2x+4<0$, donc le quotient est strictement positif

• pour $-2<x<1$ : $x-1<0$ et $2x+4>0$, donc le quotient est strictement négatif

• pour $x>1$ : $x-1>0$ et $2x+4>0$, donc le quotient est strictement positif.

Donc $g$ est définie sur $]-\infty\,;-2[\,\cup\,]1\,;+\infty[$.

On élimine les autres propositions : $\mathbb{R}$ est exclu (la valeur $-2$ annule le dénominateur), $]-2\,;+\infty[$ contient des valeurs de $]-2\,;1]$ où le quotient est négatif ou nul, et $]-2\,;1[$ est l'ensemble où le quotient est strictement négatif.

Réponse : $]-\infty\,;-2[\,\cup\,]1\,;+\infty[$.

Question 3. Réponse d.

La fonction $h$ est dérivable deux fois sur $\mathbb{R}$. On dérive avec $(uv)'=u'v+uv'$ :

Pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^x>0$, donc $h''(x)$ a le signe de $x+3$ :

• pour $x\leqslant-3$, $h''(x)\leqslant0$, donc $h$ est concave sur $]-\infty\,;-3]$

• pour $x\geqslant-3$, $h''(x)\geqslant0$, donc $h$ est convexe sur $[-3\,;+\infty[$.

Donc $h$ est concave sur $]-\infty\,;-3]$ et convexe sur $[-3\,;+\infty[$.

Réponse : d.

Question 4. Réponse b.

Pour tout entier $n$, $u_n\geqslant3$, et $u_n\to\ell$. Par passage à la limite dans une inégalité large, $\ell\geqslant3$.

Les autres propositions ne sont pas assurées. On donne des contre-exemples :

• a. $u_n=4+\dfrac1n$ est minorée par $3$ et converge vers $4\neq3$

• c. $u_n=4+\dfrac{(-1)^n}{n}$ est minorée par $3$ (car $u_n\geqslant4-1=3$) et converge vers $4$, mais elle n'est pas décroissante (par exemple $u_1=3$, $u_2=4{,}5$)

• d. $u_n=4+\dfrac1n$ n'est constante à partir d'aucun rang.

Réponse : b.

Question 5. Réponse d.

On calcule les premiers termes, avec $w_{n+1}=\dfrac{w_n}{n}$ :

• c. fausse : $w_5=\dfrac1{12}\neq\dfrac1{15}$.

• a. fausse : $\dfrac{w_2}{w_1}=1$ et $\dfrac{w_3}{w_2}=\dfrac12$, donc il n'y a pas de raison constante : la suite n'est pas géométrique.

• d. vraie : on montre que la suite converge vers $0$. Tous les termes sont strictement positifs. Pour $n\geqslant2$, $\dfrac1n\leqslant\dfrac12$, donc $w_{n+1}\leqslant\dfrac12w_n$. Par récurrence immédiate, $0<w_n\leqslant2\times\left(\dfrac12\right)^{n-2}$ pour $n\geqslant2$. Comme $\lim\limits_{n\to+\infty}2\times\left(\dfrac12\right)^{n-2}=0$, le théorème des gendarmes donne $\lim\limits_{n\to+\infty}w_n=0$.

• b. fausse, puisque la suite admet la limite $0$.

Réponse : d.

Points clés attendus

• Primitive : vérifier en dérivant la proposition retenue, sans chercher à intégrer par parties.

• Ensemble de définition de $\ln$ d'un quotient : étudier le signe du quotient, pas seulement l'annulation du dénominateur.

• Convexité : calculer $f''$ et en étudier le signe, avec $\mathrm{e}^x>0$.

• Limite et inégalité large : $\ell\geqslant3$, avec contre-exemples pour les autres propositions.

• Suite définie par récurrence : calculer les premiers termes avant de conclure sur la nature géométrique et la limite.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.