Bac 2023, Centres étrangers 2 : exercice 3

Question 1. On calcule les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$, avec A$(3\;;\;0\;;\;1)$, B$(2\;;\;1\;;\;2)$ et C$(-2\;;\;-5\;;\;1)$.

Les points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.

Supposons qu'il existe un réel $k$ tel que $\overrightarrow{AC}=k\,\overrightarrow{AB}$.

La coordonnée en $z$ donnerait $0=k\times1$, donc $k=0$.

On aurait alors $\overrightarrow{AC}=\vec{0}$, ce qui est faux car $\overrightarrow{AC}$ a pour première coordonnée $-5\neq0$.

Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont donc pas colinéaires.

Donc les points A, B et C ne sont pas alignés.

Question 2. On calcule le produit scalaire $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ à l'aide des coordonnées dans le repère orthonormé.

Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont non nuls et leur produit scalaire est nul : ils sont orthogonaux.

Donc le triangle ABC est rectangle en A.

Question 3. On pose $\vec{n}\begin{pmatrix}-1\\1\\-2\end{pmatrix}$, vecteur dont les coordonnées sont les coefficients de $x$, $y$, $z$ dans l'équation proposée.

Le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal à $\overrightarrow{AB}$ et à $\overrightarrow{AC}$, qui sont deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) (question 1).

Donc $\vec{n}$ est un vecteur normal au plan (ABC).

Le plan (ABC) admet donc une équation cartésienne de la forme $-x+y-2z+d=0$, où $d$ est un réel.

Le point A appartient au plan, donc ses coordonnées vérifient l'équation :

On vérifie avec les deux autres points :

Donc le plan (ABC) a pour équation cartésienne $-x+y-2z+5=0$.

Question 4. La droite $(\Delta)$ est orthogonale au plan (ABC), donc le vecteur normal $\vec{n}(-1\;;\;1\;;\;-2)$ est un vecteur directeur de $(\Delta)$.

La droite $(\Delta)$ passe par S$(1\;;\;-2\;;\;4)$.

Un point M$(x\;;\;y\;;\;z)$ appartient à $(\Delta)$ si et seulement si $\overrightarrow{SM}$ est colinéaire à $\vec{n}$, c'est-à-dire s'il existe un réel $t$ tel que $\overrightarrow{SM}=t\,\vec{n}$.

Donc une représentation paramétrique de $(\Delta)$ est

Réponse : $(\Delta)$ : $x=1-t$, $y=-2+t$, $z=4-2t$, $t\in\mathbb{R}$.

Question 5. La droite $(\Delta)$ n'est pas parallèle au plan (ABC), puisque son vecteur directeur $\vec{n}$ est normal au plan : elle coupe donc le plan en un unique point H.

Les coordonnées de H vérifient à la fois la représentation paramétrique de $(\Delta)$ et l'équation du plan. On remplace donc $x$, $y$, $z$ dans l'équation du plan :

On développe :

On remplace $t=1$ dans la représentation paramétrique :

Donc le point d'intersection de $(\Delta)$ et du plan (ABC) est H$(0\;;\;-1\;;\;2)$.

Question 6. On calcule les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{SH}$ :

Le repère étant orthonormé,

Donc $SH=\sqrt{6}$.

Réponse : $SH=\sqrt{6}$.

Question 7. Le cercle $\mathcal{C}$ est inclus dans le plan (ABC), de centre H, et passe par B. Son rayon est donc $HB$.

On calcule $\overrightarrow{HB}\begin{pmatrix}2-0\\1-(-1)\\2-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\2\\0\end{pmatrix}$, donc

L'aire d'un disque de rayon $r$ est $\pi r^2$. Ici $r^2=HB^2=8$.

Donc l'aire du disque $\mathcal{D}$ est $8\pi$ (en unités d'aire).

Réponse : $\mathcal{A}(\mathcal{D})=8\pi$.

Question 8. Le cône a pour sommet S et pour base le disque $\mathcal{D}$, contenu dans le plan (ABC).

Le point H appartient au plan (ABC) et la droite (SH) $=(\Delta)$ est orthogonale à ce plan : H est le projeté orthogonal de S sur le plan (ABC). De plus H est le centre du disque.

La hauteur du cône est donc $SH=\sqrt{6}$.

Le volume d'un cône est $V=\dfrac13\times\text{aire de la base}\times\text{hauteur}$. Donc

Donc le volume du cône de sommet S et de base le disque $\mathcal{D}$ est $\dfrac{8\pi\sqrt{6}}{3}$ (en unités de volume).

Réponse : $V=\dfrac{8\pi\sqrt{6}}{3}$.

Points clés attendus

• Justifier la non-colinéarité de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ par un raisonnement (pas seulement par les coordonnées écrites).

• Pour l'équation du plan : montrer que $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan, puis déterminer $d$ avec un point et vérifier les autres.

• Un vecteur normal au plan est un vecteur directeur de la droite orthogonale au plan.

• Intersection droite-plan : substituer la représentation paramétrique dans l'équation du plan, résoudre en $t$, puis revenir aux coordonnées.

• Reconnaître que SH est la hauteur du cône (H projeté orthogonal de S) et citer la formule du volume.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.