Bac 2023, Centres étrangers 2 : exercice 2

Question 1.

Traduisons les données de l'énoncé en probabilités conditionnelles.

• Si M. Durand prend les transports en commun un matin, il les reprend le lendemain avec la probabilité $0{,}8$. Donc, pour tout $n\geqslant1$, $P_{T_n}(T_{n+1})=0{,}8$ et, par évènement contraire, $P_{T_n}(V_{n+1})=1-0{,}8=0{,}2$.

• S'il prend son vélo un matin, il le reprend le lendemain avec la probabilité $0{,}4$. Donc $P_{V_n}(V_{n+1})=0{,}4$ et $P_{V_n}(T_{n+1})=1-0{,}4=0{,}6$.

Les pondérations de l'arbre sont donc :

• de $T_1$ vers $T_2$ : $0{,}8$   de $T_1$ vers $V_2$ : $0{,}2$

• de $T_2$ vers $T_3$ : $0{,}8$   de $T_2$ vers $V_3$ : $0{,}2$

• de $V_2$ vers $T_3$ : $0{,}6$   de $V_2$ vers $V_3$ : $0{,}4$.

Question 2.

Les évènements $T_2$ et $V_2$ sont contraires : ils forment une partition de l'univers.

D'après la formule des probabilités totales,

On a $P(T_2)=P(T_1)\,P_{T_1}(T_2)=1\times0{,}8=0{,}8$ et $P(V_2)=1-0{,}8=0{,}2$. Donc

Donc la probabilité que M. Durand prenne les transports en commun le troisième jour est $0{,}76$.

Réponse : $p_3=0{,}76$.

Question 3.

On cherche la probabilité qu'il ait pris les transports en commun la veille, sachant qu'il utilise son vélo le troisième jour, c'est-à-dire $P_{V_3}(T_2)$.

Par définition d'une probabilité conditionnelle,

On calcule le numérateur :

On calcule le dénominateur, par évènement contraire de $T_3$ :

Donc

Donc, sachant que M. Durand utilise son vélo le troisième jour, la probabilité qu'il ait pris les transports en commun la veille est $\dfrac23$.

Réponse : $P_{V_3}(T_2)=\dfrac23\approx0{,}667$.

Question 4.

On a $P(T_n)=p_n$, donc $P(V_n)=1-p_n$. Les pondérations de l'arbre sont :

• de l'origine vers $T_n$ : $p_n$   de l'origine vers $V_n$ : $1-p_n$

• de $T_n$ vers $T_{n+1}$ : $0{,}8$   de $T_n$ vers $V_{n+1}$ : $0{,}2$

• de $V_n$ vers $T_{n+1}$ : $0{,}6$   de $V_n$ vers $V_{n+1}$ : $0{,}4$.

Question 5.

Soit $n$ un entier naturel non nul. Les évènements $T_n$ et $V_n$ forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales,

On remplace par les valeurs de l'arbre :

Donc, pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_{n+1}=0{,}2\,p_n+0{,}6$.

Question 6.

Pour tout entier naturel $n\geqslant1$, on note $\mathcal{P}(n)$ la propriété

Initialisation.

Pour $n=1$ : $0{,}75+0{,}25\times0{,}2^{0}=0{,}75+0{,}25=1$, et $p_1=1$. Donc $\mathcal{P}(1)$ est vraie.

Hérédité.

Soit $k\geqslant1$ un entier fixé tel que $\mathcal{P}(k)$ soit vraie, c'est-à-dire $p_k=0{,}75+0{,}25\times0{,}2^{k-1}$ (hypothèse de récurrence). Montrons que $\mathcal{P}(k+1)$ est vraie.

D'après la question 5, puis d'après l'hypothèse de récurrence :

C'est exactement $\mathcal{P}(k+1)$ : $p_{k+1}=0{,}75+0{,}25\times0{,}2^{(k+1)-1}$.

Conclusion.

$\mathcal{P}(1)$ est vraie et $\mathcal{P}$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n\geqslant1$.

Donc, pour tout entier naturel $n$ non nul, $p_n=0{,}75+0{,}25\times0{,}2^{n-1}$.

Question 7.

On a $-1<0{,}2<1$. D'après la limite d'une suite géométrique de raison $q$ avec $-1<q<1$,

Par produit et somme,

Interprétation : à long terme, la probabilité que M. Durand prenne les transports en commun un jour donné se stabilise autour de $0{,}75$, et la probabilité qu'il prenne son vélo autour de $0{,}25$.

Réponse : $\lim\limits_{n\to+\infty}p_n=0{,}75$.

Points clés attendus

• Traduire correctement l'énoncé en probabilités conditionnelles, en utilisant les évènements contraires pour les branches manquantes.

• Citer la formule des probabilités totales avec la partition $\{T_n\,;V_n\}$ aux questions 2 et 5.

• Pour la question 3, reconnaître une probabilité conditionnelle à l'envers et l'écrire comme un quotient.

• Rédiger la récurrence complète (initialisation en $n=1$, hérédité avec la relation de la question 5, conclusion).

• Citer la limite d'une suite géométrique de raison comprise entre $-1$ et $1$, puis interpréter dans le contexte.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.