Bac 2023, Centres étrangers 2 : exercice 1

Partie A

Question 1.

Pour tout $x>0$, $\ln\left(x^2\right)=2\ln x$, donc

Limite en $0^+$. On a $\lim\limits_{x\to0^+}\ln x=-\infty$, donc $\lim\limits_{x\to0^+}2\ln x=-\infty$. De plus $\lim\limits_{x\to0^+}(x-2)=-2$. Par somme,

Limite en $+\infty$. On a $\lim\limits_{x\to+\infty}\ln x=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}x=+\infty$. Par somme,

Donc $g$ tend vers $-\infty$ en $0^+$ et vers $+\infty$ en $+\infty$.

Réponse : $\lim\limits_{x\to0^+}g(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=+\infty$.

Question 2.

La fonction $g$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$ (admis). Pour tout $x>0$ :

Pour tout $x>0$, $\dfrac2x>0$, donc $g'(x)>1>0$.

La dérivée est strictement positive sur l'intervalle. Donc $g$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$.

Tableau de variations, décrit en phrases : $g$ croît strictement de $-\infty$ (limite en $0^+$) à $+\infty$ (limite en $+\infty$).

Question 3. a)

Appliquons le théorème des valeurs intermédiaires dans sa version pour les fonctions strictement monotones (théorème de la bijection). Hypothèses :

• $g$ est continue sur $]0\,;+\infty[$, car dérivable sur cet intervalle

• $g$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$ (question 2)

• $\lim\limits_{x\to0^+}g(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=+\infty$, donc $g$ prend toutes les valeurs de $]-\infty\,;+\infty[=\mathbb{R}$, et $0$ appartient à cet intervalle.

Donc l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $]0\,;+\infty[$.

Question 3. b)

On calcule à la calculatrice :

Donc $1<\alpha<2$, par stricte croissance de $g$.

On affine par balayage :

Comme $g$ est strictement croissante et $g(1{,}37)<g(\alpha)=0<g(1{,}38)$, on obtient $1{,}37<\alpha<1{,}38$.

Donc $1{,}37<\alpha<1{,}38$, encadrement d'amplitude $10^{-2}$.

Réponse : $1{,}37<\alpha<1{,}38$.

Question 4.

La fonction $g$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$ et $g(\alpha)=0$. Donc :

• pour $0<x<\alpha$, $g(x)<g(\alpha)=0$

• pour $x=\alpha$, $g(x)=0$

• pour $x>\alpha$, $g(x)>g(\alpha)=0$.

Donc $g$ est négative sur $]0\,;\alpha]$ (strictement sur $]0\,;\alpha[$), nulle en $\alpha$, et strictement positive sur $]\alpha\,;+\infty[$.

Partie B

Question 1. a)

Pour tout $x>0$, on peut écrire

Quand $x\to0^+$ : $\dfrac2x\to+\infty$, donc $1-\dfrac2x\to-\infty$   et $\ln x\to-\infty$.

Par produit de deux limites égales à $-\infty$,

Réponse : $\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=+\infty$.

Question 1. b)

Comme $\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=+\infty$, la courbe $\mathcal{C}_f$ admet pour asymptote verticale la droite d'équation $x=0$ (l'axe des ordonnées).

Question 2.

Quand $x\to+\infty$ : $\dfrac2x\to0$, donc $1-\dfrac2x\to1$   et $\ln x\to+\infty$.

Par produit,

Réponse : $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$.

Question 3.

On écrit $f=u\times v$ avec, pour $x>0$,

Ces fonctions sont dérivables sur $]0\,;+\infty[$, avec

D'après la formule de dérivation d'un produit, $f'=u'v+uv'$, donc

Or $2\ln x=\ln\left(x^2\right)$ pour $x>0$, donc $2\ln x+x-2=g(x)$.

Donc, pour tout $x>0$, $f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}$.

Question 4.

Pour tout $x>0$, $x^2>0$, donc $f'(x)$ est du signe de $g(x)$. D'après la question 4 de la partie A :

• sur $]0\,;\alpha[$, $f'(x)<0$

• $f'(\alpha)=0$

• sur $]\alpha\,;+\infty[$, $f'(x)>0$.

Donc $f$ est strictement décroissante sur $]0\,;\alpha]$ et strictement croissante sur $[\alpha\,;+\infty[$.

Elle admet un minimum en $\alpha$. Sa limite est $+\infty$ en $0^+$ et en $+\infty$.

Partie C

Pour tout $x>0$ :

Comme $x>0$, le signe de $f(x)-\ln x$ est celui de $-\ln x$ :

• pour $0<x<1$ : $\ln x<0$, donc $f(x)-\ln x>0$ : $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de la courbe de $\ln$

• pour $x=1$ : $\ln 1=0$, donc $f(1)=\ln1=0$ : les deux courbes se coupent au point de coordonnées $(1\,;0)$

• pour $x>1$ : $\ln x>0$, donc $f(x)-\ln x<0$ : $\mathcal{C}_f$ est en dessous de la courbe de $\ln$.

Donc $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de la courbe de $\ln$ sur $]0\,;1[$, en dessous sur $]1\,;+\infty[$, et les deux courbes se coupent en $(1\,;0)$.

Points clés attendus

• Limites par somme et produit, avec la forme $1-\dfrac2x$ pour lever toute ambiguïté en $0^+$ et en $+\infty$.

• Théorème de la bijection (ou des valeurs intermédiaires) : citer continuité, stricte monotonie et limites aux bornes, puis conclure à l'existence et l'unicité de $\alpha$.

• Encadrement de $\alpha$ obtenu par deux valeurs de $g$ de signes opposés.

• Dérivée d'un produit, puis lien entre $f'$ et $g$ grâce à $\ln\left(x^2\right)=2\ln x$.

• Position relative étudiée par le signe de la différence $f(x)-\ln x$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.