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Terminale Spé Maths / Chapitre 10 : Vecteurs, droites et plans de l'espace / Annales du bac

Bac 2023, Amérique du Nord : exercice 3

27 mars 2023 · jour 1 · 5 points QCM

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.
Les cinq questions sont indépendantes.

L'espace est muni d'un repère orthonormé (O ; ı⃗, ȷ⃗, k⃗)\left(\mathrm{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right).

On considère les points A(−1  ;  2  ;  5)(-1\;;\;2\;;\;5),  B(3  ;  6  ;  3)(3\;;\;6\;;\;3),  C(3  ;  0  ;  9)(3\;;\;0\;;\;9)  et   D(8  ;  −3  ;  −8)(8\;;\;-3\;;\;-8).

On admet que les points A, B et C ne sont pas alignés.

  1. ABC est un triangle :

    a.isocèle rectangle en Ab.isocèle rectangle en B
    c.isocèle rectangle en Cd.équilatéral

  2. Une équation cartésienne du plan (BCD) est :

    a.2x+y+z−15=02 x+y+z-15=0b.9x−5y+3=09 x-5 y+3=0
    c.4x+y+z−21=04 x+y+z-21=0d.11x+5z−73=011 x+5 z-73=0

  3. On admet que le plan (ABC) a pour équation cartésienne x−2y−2z+15=0x- 2y - 2z + 15 = 0.

    On appelle H le projeté orthogonal du point D sur le plan (ABC).

    On peut affirmer que :

    a.H(−2  ;  17  ;  12)(-2\;;\;17\;;\;12)b.H(3  ;  7  ;  2)(3\;;\;7\;;\;2)
    c.H(3  ;  2  ;  7)(3\;;\;2\;;\;7)d.H(−15  ;  1  ;  −1)(-15\;;\;1\;;\;-1)

  4. Soit la droite Δ\Delta de représentation paramétrique {x=−5+ty=−3−tz=−1+3t\left\{\begin{array}{l}x=\phantom{-}5+t \\ y=\phantom{-}3-t \\ z =-1 + 3t\end{array}\right., avec tt réel.

    Les droites (BC) et Δ\Delta sont :

    a.confonduesb.strictement parallèles
    c.sécantesd.non coplanaires

  5. On considère le plan P\mathcal{P} d'équation cartésienne 2x−y+2z−6=02x - y + 2z - 6 = 0.

    On admet que le plan (ABC) a pour équation cartésienne x−2y−2z+15=0x-2 y-2 z+15=0.

    On peut affirmer que :

    a.les plans P\mathcal{P} et (ABC) sont strictement parallèles
    b.les plans P\mathcal{P} et (ABC) sont sécants et leur intersection est la droite (AB)
    c.les plans P\mathcal{P} et (ABC) sont sécants et leur intersection est la droite (AC)
    d.les plans P\mathcal{P} et (ABC) sont sécants et leur intersection est la droite (BC)
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Question 1. Réponse a.

On calcule les coordonnées des vecteurs, coordonnée par coordonnée, avec A(−1 ;2 ;5)(-1\,;2\,;5), B(3 ;6 ;3)(3\,;6\,;3) et C(3 ;0 ;9)(3\,;0\,;9) :

AB→(3−(−1) ; 6−2 ; 3−5)=(4 ;4 ;−2),AC→(3−(−1) ; 0−2 ; 9−5)=(4 ;−2 ;4),BC→(3−3 ; 0−6 ; 9−3)=(0 ;−6 ;6).\begin{aligned} \overrightarrow{\mathrm{AB}}&(3-(-1)\,;\,6-2\,;\,3-5)=(4\,;4\,;-2),\\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}&(3-(-1)\,;\,0-2\,;\,9-5)=(4\,;-2\,;4),\\ \overrightarrow{\mathrm{BC}}&(3-3\,;\,0-6\,;\,9-3)=(0\,;-6\,;6). \end{aligned}

Le repère est orthonormé, donc on peut calculer les longueurs :

AB=42+42+(−2)2=36=6,AC=42+(−2)2+42=36=6,BC=02+(−6)2+62=72=62.\begin{aligned} \mathrm{AB}&=\sqrt{4^2+4^2+(-2)^2}=\sqrt{36}=6,\\ \mathrm{AC}&=\sqrt{4^2+(-2)^2+4^2}=\sqrt{36}=6,\\ \mathrm{BC}&=\sqrt{0^2+(-6)^2+6^2}=\sqrt{72}=6\sqrt2. \end{aligned}

Produit scalaire :

AB→⋅AC→=4×4+4×(−2)+(−2)×4=16−8−8=0.\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AC}}=4\times4+4\times(-2)+(-2)\times4=16-8-8=0.

Les vecteurs AB→\overrightarrow{\mathrm{AB}} et AC→\overrightarrow{\mathrm{AC}} sont orthogonaux : le triangle est rectangle en A. De plus AB=AC\mathrm{AB}=\mathrm{AC} : il est isocèle en A.

Les trois côtés n'ont pas la même longueur (BC=62≠6\mathrm{BC}=6\sqrt2\neq6) : le triangle n'est pas équilatéral. Il n'est pas rectangle en B ni en C, puisqu'il est rectangle en A.

Donc le triangle ABC est isocèle rectangle en A.

Réponse : a.

Question 2. Réponse c.

On vérifie que les coordonnées des points B, C et D satisfont l'équation 4x+y+z−21=04x+y+z-21=0 :

B: 4×3+6+3−21=12+6+3−21=0,C: 4×3+0+9−21=12+9−21=0,D: 4×8+(−3)+(−8)−21=32−3−8−21=0.\begin{aligned} \text{B}&:\ 4\times3+6+3-21=12+6+3-21=0,\\ \text{C}&:\ 4\times3+0+9-21=12+9-21=0,\\ \text{D}&:\ 4\times8+(-3)+(-8)-21=32-3-8-21=0. \end{aligned}

Les points B, C et D appartiennent donc au plan d'équation 4x+y+z−21=04x+y+z-21=0.

Ces points ne sont pas alignés : BC→(0 ;−6 ;6)\overrightarrow{\mathrm{BC}}(0\,;-6\,;6) et BD→(5 ;−9 ;−11)\overrightarrow{\mathrm{BD}}(5\,;-9\,;-11) ne sont pas colinéaires (la première coordonnée de BC→\overrightarrow{\mathrm{BC}} est nulle, pas celle de BD→\overrightarrow{\mathrm{BD}}, alors que BC→≠0⃗\overrightarrow{\mathrm{BC}}\neq\vec{0}). Ils définissent donc un unique plan, qui est le plan (BCD).

Les autres équations ne conviennent pas :

  • a. : pour D, 2×8−3−8−15=−10≠02\times8-3-8-15=-10\neq0

  • b. : pour C, 9×3−0+3=30≠09\times3-0+3=30\neq0

  • d. : pour B, 11×3+5×3−73=−25≠011\times3+5\times3-73=-25\neq0.

Donc une équation cartésienne de (BCD) est 4x+y+z−21=04x+y+z-21=0.

Réponse : c.

Question 3. Réponse b.

Le plan (ABC) a pour équation x−2y−2z+15=0x-2y-2z+15=0, donc le vecteur n⃗(1 ;−2 ;−2)\vec{n}(1\,;-2\,;-2) est un vecteur normal à (ABC).

Le projeté orthogonal H de D sur (ABC) appartient à la droite passant par D et de vecteur directeur n⃗\vec{n}, dont une représentation paramétrique est

{x=8+ty=−3−2tz=−8−2t,t∈R.\begin{cases}x=8+t\\y=-3-2t\\z=-8-2t\end{cases},\quad t\in\mathbb{R}.

Il appartient aussi au plan (ABC) : ses coordonnées vérifient l'équation du plan, donc

(8+t)−2(−3−2t)−2(−8−2t)+15=08+t+6+4t+16+4t+15=09t+45=0t=−5.\begin{aligned} (8+t)-2(-3-2t)-2(-8-2t)+15&=0\\ 8+t+6+4t+16+4t+15&=0\\ 9t+45&=0\\ t&=-5. \end{aligned}

En remplaçant tt par −5-5 : x=3x=3, y=−3+10=7y=-3+10=7, z=−8+10=2z=-8+10=2.

Donc H(3 ;7 ;2)(3\,;7\,;2).

Vérification : 3−14−4+15=03-14-4+15=0, donc H appartient bien à (ABC).

Réponse : b.

Question 4. Réponse d.

Un vecteur directeur de (BC) est BC→(0 ;−6 ;6)\overrightarrow{\mathrm{BC}}(0\,;-6\,;6), donc aussi u⃗(0 ;−1 ;1)\vec{u}(0\,;-1\,;1). Un vecteur directeur de Δ\Delta est v⃗(1 ;−1 ;3)\vec{v}(1\,;-1\,;3).

Ces vecteurs ne sont pas colinéaires (la première coordonnée de u⃗\vec{u} est nulle, pas celle de v⃗\vec{v}). Les droites ne sont donc ni parallèles, ni confondues.

Étudions leur intersection. Une représentation paramétrique de (BC) est x=3x=3, y=6−sy=6-s, z=3+sz=3+s (s∈Rs\in\mathbb{R}). Un point commun correspond à ss et tt vérifiant

{3=5+t6−s=3−t3+s=−1+3t.\begin{cases}3=5+t\\6-s=3-t\\3+s=-1+3t\end{cases}.

La première équation donne t=−2t=-2. La deuxième donne 6−s=56-s=5, donc s=1s=1. La troisième devient alors 3+1=−1−63+1=-1-6, soit 4=−74=-7, ce qui est faux.

Le système n'a pas de solution : les droites ne sont pas sécantes.

Deux droites ni parallèles ni sécantes sont non coplanaires.

Donc les droites (BC) et Δ\Delta sont non coplanaires.

Réponse : d.

Question 5. Réponse b.

Un vecteur normal à P\mathcal{P} est n1⃗(2 ;−1 ;2)\vec{n_1}(2\,;-1\,;2) et un vecteur normal à (ABC) est n2⃗(1 ;−2 ;−2)\vec{n_2}(1\,;-2\,;-2).

Ces vecteurs ne sont pas colinéaires (le rapport des premières coordonnées est 22, celui des deuxièmes est 12\dfrac12). Les plans ne sont donc pas parallèles : ils sont sécants, et la proposition a. est fausse.

On teste l'appartenance des points A, B et C au plan P\mathcal{P} d'équation 2x−y+2z−6=02x-y+2z-6=0 :

A: 2×(−1)−2+2×5−6=−2−2+10−6=0,B: 2×3−6+2×3−6=6−6+6−6=0,C: 2×3−0+2×9−6=6+18−6=18≠0.\begin{aligned} \text{A}&:\ 2\times(-1)-2+2\times5-6=-2-2+10-6=0,\\ \text{B}&:\ 2\times3-6+2\times3-6=6-6+6-6=0,\\ \text{C}&:\ 2\times3-0+2\times9-6=6+18-6=18\neq0. \end{aligned}

Les points A et B appartiennent à P\mathcal{P} et à (ABC). Deux plans sécants se coupent selon une droite, et cette droite passe par A et B : c'est la droite (AB).

Le point C n'appartient pas à P\mathcal{P}, donc l'intersection n'est ni (AC) ni (BC) : les propositions c. et d. sont fausses.

Donc les plans P\mathcal{P} et (ABC) sont sécants et leur intersection est la droite (AB).

Réponse : b.

Points clés attendus

  • Calculer les coordonnées des vecteurs et utiliser le produit scalaire nul pour l'orthogonalité, avec les longueurs pour le caractère isocèle.

  • Pour une équation de plan, vérifier que les trois points la satisfont et qu'ils ne sont pas alignés.

  • Pour le projeté orthogonal, écrire la droite perpendiculaire au plan passant par D et résoudre l'équation en tt.

  • Pour deux droites, étudier d'abord la colinéarité des vecteurs directeurs, puis le système d'intersection.

  • Pour deux plans, comparer les vecteurs normaux puis tester l'appartenance de points.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.

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Chronomètre-toi, rédige sur papier comme le jour du bac, puis seulement après regarde le cours. Si tu bloques sur une question, écris « on admet que… » et passe à la suivante.

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Source : sujet officiel de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat, session 2023 (Amérique du Nord, 27 mars 2023 (jour 1)), ministère de l'Éducation nationale. Énoncé mis en forme pour le web à partir du tapuscrit de l'APMEP (Denis Vergès) ; figures issues des fichiers de l'APMEP. En cas de doute sur un détail, le sujet officiel fait foi.

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