Bac 2023, Amérique du Nord : exercice 4

Partie A - Étude de la suite $(u_n)$

Question 1.

On a $u_0=5$, donc

Puis

Les fractions sont irréductibles : $18=2\times3^2$ et $5$ n'ont aucun diviseur premier commun, et $599$ est un nombre premier qui ne divise pas $180=2^2\times3^2\times5$.

Donc $u_1=\dfrac{18}{5}$ et $u_2=\dfrac{599}{180}$.

Réponse : $u_1=\dfrac{18}{5}$, $u_2=\dfrac{599}{180}$.

Question 2.

La fonction $f$ est dérivable sur $]0\,;+\infty[$ comme somme de $x\mapsto x$ et de $x\mapsto\dfrac{11}{x}$ (multipliée par $\dfrac12$).

Pour tout $x>0$,

Soit $x\geqslant\sqrt{11}$. Alors $x>0$ donc $x^2\geqslant11$ (la fonction carré est croissante sur $[0\,;+\infty[$), c'est-à-dire $x^2-11\geqslant0$. Comme $2x^2>0$, on a $f'(x)\geqslant0$.

La dérivée est positive sur $[\sqrt{11}\,;+\infty[$, donc la fonction $f$ est croissante sur cet intervalle.

Question 3.

Pour tout entier naturel $n$, on note $P(n)$ la propriété $u_n\geqslant u_{n+1}\geqslant\sqrt{11}$.

Initialisation.

On a $u_0=5$ et $u_1=\dfrac{18}{5}=3{,}6$. Comme $3{,}3^2=10{,}89<11$ et $3{,}4^2=11{,}56>11$, on a $3{,}3<\sqrt{11}<3{,}4$, donc $\sqrt{11}<3{,}6$.

Donc $5\geqslant3{,}6\geqslant\sqrt{11}$, c'est-à-dire $u_0\geqslant u_1\geqslant\sqrt{11}$ : $P(0)$ est vraie.

Hérédité.

Soit $k$ un entier naturel fixé tel que $P(k)$ soit vraie, c'est-à-dire

Montrons $P(k+1)$ : $u_{k+1}\geqslant u_{k+2}\geqslant\sqrt{11}$.

Les trois nombres $u_k$, $u_{k+1}$ et $\sqrt{11}$ appartiennent à $[\sqrt{11}\,;+\infty[$, intervalle sur lequel $f$ est croissante (question 2). On applique $f$ aux membres de l'hypothèse de récurrence en conservant le sens des inégalités :

Or $f(u_k)=u_{k+1}$, $f(u_{k+1})=u_{k+2}$ et

On obtient $u_{k+1}\geqslant u_{k+2}\geqslant\sqrt{11}$ : $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion.

$P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, $u_n\geqslant u_{n+1}\geqslant\sqrt{11}$.

Question 4.

D'après la question précédente, pour tout $n$, $u_{n+1}\leqslant u_n$ : la suite $(u_n)$ est décroissante.

Toujours d'après la question précédente, pour tout $n$, $u_n\geqslant\sqrt{11}$ : la suite $(u_n)$ est minorée par $\sqrt{11}$.

D'après le théorème de la limite monotone (toute suite décroissante et minorée converge), la suite $(u_n)$ converge vers une limite réelle $a$.

Question 5.

Pour tout $n$, $u_n\geqslant\sqrt{11}$. Par passage à la limite dans une inégalité large, $a\geqslant\sqrt{11}$, donc $a>0$.

La fonction $f$ est continue sur $]0\,;+\infty[$ (elle y est dérivable), et $u_{n+1}=f(u_n)$ avec $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=a\in]0\,;+\infty[$. Par continuité de $f$ en $a$, on obtient $a=f(a)$.

On résout cette équation, avec $a>0$ :

Comme $a>0$, on obtient $a=\sqrt{11}$.

Donc la suite $(u_n)$ converge vers $\sqrt{11}$.

Réponse : $a=\sqrt{11}$.

Partie B - Application géométrique

Question 1. a)

L'aire du rectangle $R_0$ est égale au produit de sa longueur par sa largeur, et vaut $11$ :

Comme $L_0=5$, on a $\ell_0=\dfrac{11}{5}=2{,}2$.

1. b)

Pour tout entier naturel $n$, l'aire de $R_n$ est $11$, donc $L_n\times\ell_n=11$.

La longueur $L_n$ est non nulle (c'est une longueur), donc

Question 2.

On a $L_0=5=u_0$.

Pour tout entier naturel $n$, avec $\ell_n=\dfrac{11}{L_n}$,

La suite $(L_n)$ a le même premier terme que $(u_n)$ et vérifie la même relation de récurrence $L_{n+1}=f(L_n)$. Par une récurrence immédiate, $L_n=u_n$ pour tout entier naturel $n$.

Donc la suite $(L_n)$ correspond bien à la suite $(u_n)$ de la partie A.

Question 3.

D'après la partie A, pour tout $n$, $L_n=u_n\geqslant\sqrt{11}$.

La fonction inverse est décroissante sur $]0\,;+\infty[$ et $L_n\geqslant\sqrt{11}>0$, donc

Donc, pour tout entier naturel $n$, $\ell_n\leqslant\sqrt{11}\leqslant L_n$.

Question 4.

Les suites $(L_n)$ et $(\ell_n)$ convergent toutes deux vers $\sqrt{11}$ : la longueur et la largeur des rectangles $R_n$ se rapprochent de la même valeur $\sqrt{11}$, tout en gardant l'aire égale à $11$.

Donc les rectangles $R_n$ se rapprochent d'un carré de côté $\sqrt{11}$, d'aire $11$.

Question 5. a)

La fonction heron(n) part de $L=L_0=5$ et $\ell=\ell_0=2{,}2$. À chaque passage dans la boucle, elle calcule d'abord $L_{i+1}=\dfrac{L_i+\ell_i}{2}$, puis $\ell_{i+1}=\dfrac{11}{L_{i+1}}$.

Après $3$ passages, les variables contiennent donc $L_3$ et $\ell_3$. Les calculs donnent :

La fonction renvoie d'abord round(l,6) puis round(L,6). La commande heron(3) affiche donc (3.316606, 3.316643).

Réponse : $\ell\approx3{,}316606$ et $L\approx3{,}316643$.

5. b)

D'après la question 3, $\ell_3\leqslant\sqrt{11}\leqslant L_3$, donc

Ces deux valeurs sont des valeurs approchées de $\sqrt{11}$, par défaut pour $\ell_3$ et par excès pour $L_3$, qui l'encadrent avec une amplitude inférieure à $4\times10^{-5}$.

Ce sont aussi la largeur et la longueur du rectangle $R_3$, d'aire $11$, déjà très proche d'un carré de côté $\sqrt{11}$.

Points clés attendus

• Dériver $f$, justifier le signe de $f'$ sur $[\sqrt{11}\,;+\infty[$ par $x^2\geqslant11$, et en déduire la croissance de $f$.

• Rédiger la récurrence complète : initialisation, hérédité avec la croissance de $f$ sur $[\sqrt{11}\,;+\infty[$ et le calcul $f(\sqrt{11})=\sqrt{11}$, conclusion.

• Citer le théorème de la limite monotone (décroissante et minorée) pour la convergence.

• Justifier le passage à la limite dans $a=f(a)$ par continuité de $f$, puis choisir la racine positive.

• Relier l'aire constante $11$ à $\ell_n=\dfrac{11}{L_n}$ et reconnaître la même récurrence que la suite $(u_n)$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.