Bac 2023, Amérique du Nord : exercice 2

Partie A - Étude d'une fonction auxiliaire

Question 1. a)

Quand $x\to-\infty$, on a $2x\to-\infty$ donc $\lim\limits_{x\to-\infty}\mathrm{e}^{2x}=0$ (limite d'une composée).

De plus $\lim\limits_{x\to-\infty}(-2x-3)=+\infty$.

Par somme, $\lim\limits_{x\to-\infty}g(x)=+\infty$.

Réponse : $\lim\limits_{x\to-\infty}g(x)=+\infty$.

1. b)

En $+\infty$, la limite de $g$ est de la forme indéterminée $+\infty-\infty$. On factorise par le terme dominant : pour tout réel $x$,

On a $\dfrac{2x+3}{\mathrm{e}^{2x}}=\dfrac{2x}{\mathrm{e}^{2x}}+\dfrac{3}{\mathrm{e}^{2x}}$. En posant $X=2x$, $\dfrac{2x}{\mathrm{e}^{2x}}=\dfrac{X}{\mathrm{e}^{X}}\to0$ quand $X\to+\infty$ d'après le théorème des croissances comparées, et $\dfrac{3}{\mathrm{e}^{2x}}\to0$.

Donc le facteur entre parenthèses tend vers $3$.

Comme $\lim\limits_{x\to+\infty}\mathrm{e}^{2x}=+\infty$, par produit, $\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=+\infty$.

Réponse : $\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=+\infty$.

Question 2. a)

La fonction $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. La dérivée de $x\mapsto\mathrm{e}^{2x}$ est $x\mapsto2\mathrm{e}^{2x}$ (dérivée de $\mathrm{e}^{u}$ : $u'\mathrm{e}^{u}$ avec $u(x)=2x$).

Donc, pour tout réel $x$,

2. b)

On résout $g'(x)\geqslant0$ :

La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$, donc

Donc :

• $g'(x)<0$ sur $\left]-\infty\,;-\dfrac{\ln3}{2}\right[$

• $g'\left(-\dfrac{\ln3}{2}\right)=0$

• $g'(x)>0$ sur $\left]-\dfrac{\ln3}{2}\,;+\infty\right[$.

2. c)

D'après le signe de $g'$, la fonction $g$ est strictement décroissante sur $\left]-\infty\,;-\dfrac{\ln3}{2}\right]$, puis strictement croissante sur $\left[-\dfrac{\ln3}{2}\,;+\infty\right[$.

Ses limites en $-\infty$ et en $+\infty$ valent $+\infty$.

Le minimum de $g$ est atteint en $x=-\dfrac{\ln3}{2}$. On calcule, avec $\mathrm{e}^{2x}=\mathrm{e}^{-\ln3}=\dfrac13$ :

Donc $g$ admet un minimum égal à $\ln(3)-2$ ($\approx-0{,}90$), atteint en $-\dfrac{\ln3}{2}$.

Question 3. a)

On a $g(0)=3\mathrm{e}^{0}-2\times0-3=3-3=0$.

Donc $x=0$ est solution de l'équation $g(x)=0$.

3. b)

On a $\ln3<2$ (car $3<\mathrm{e}^{2}\approx7{,}39$), donc le minimum $\ln3-2$ est strictement négatif.

Sur l'intervalle $I=\left]-\infty\,;-\dfrac{\ln3}{2}\right]$ : la fonction $g$ est continue (car dérivable), strictement décroissante, de limite $+\infty$ en $-\infty$, et $g\left(-\dfrac{\ln3}{2}\right)=\ln3-2<0$. Donc $g$ réalise une bijection de $I$ sur $[\ln3-2\,;+\infty[$, qui contient $0$.

D'après le théorème de la bijection (ou théorème des valeurs intermédiaires pour une fonction continue strictement monotone), l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $I$.

Comme $-\dfrac{\ln3}{2}\approx-0{,}55<0$, on a $\alpha<0$, donc $\alpha\neq0$.

Sur l'intervalle $J=\left[-\dfrac{\ln3}{2}\,;+\infty\right[$ : la fonction $g$ est strictement croissante et $g(0)=0$, donc $0$ est la seule solution de $g(x)=0$ sur $J$.

L'équation $g(x)=0$ admet donc exactement deux solutions : $0$ et $\alpha<0$.

Encadrement. À la calculatrice, $g(-1{,}5)\approx0{,}149>0$ et $g(-1{,}4)\approx-0{,}018<0$.

Les réels $-1{,}5$ et $-1{,}4$ appartiennent à $I$ et $g$ est strictement décroissante sur $I$, donc $g(-1{,}4)<0=g(\alpha)<g(-1{,}5)$ implique $-1{,}5<\alpha<-1{,}4$.

Donc l'équation $g(x)=0$ admet une seconde solution non nulle $\alpha$, avec $-1{,}5<\alpha<-1{,}4$.

Réponse : $-1{,}5<\alpha<-1{,}4$.

Question 4.

On utilise les variations de $g$ et le fait que $g(\alpha)=g(0)=0$.

• Sur $]-\infty\,;\alpha[$ : $g$ est strictement décroissante sur $I$ et s'annule en $\alpha$, donc $g(x)>g(\alpha)=0$.

• Sur $]\alpha\,;0[$ : $g$ est d'abord strictement décroissante jusqu'à son minimum négatif, puis strictement croissante jusqu'à $g(0)=0$   elle reste strictement inférieure à $0$.

• Sur $]0\,;+\infty[$ : $g$ est strictement croissante sur $J$ et $g(0)=0$, donc $g(x)>0$.

Donc $g(x)>0$ sur $]-\infty\,;\alpha[\,\cup\,]0\,;+\infty[$, $g(x)<0$ sur $]\alpha\,;0[$, et $g(\alpha)=g(0)=0$.

Partie B - Étude de la fonction $f$

Question 1.

La fonction $f$ s'écrit $f(x)=\mathrm{e}^{3x}-(2x+1)\mathrm{e}^{x}$. On dérive le produit $(2x+1)\mathrm{e}^{x}$ avec la formule $(uv)'=u'v+uv'$, où $u(x)=2x+1$ et $v(x)=\mathrm{e}^{x}$ :

La dérivée de $\mathrm{e}^{3x}$ est $3\mathrm{e}^{3x}$. Donc, pour tout réel $x$,

Comme $\mathrm{e}^{3x}=\mathrm{e}^{x}\times\mathrm{e}^{2x}$, on factorise par $\mathrm{e}^{x}$ :

Question 2.

Pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^{x}>0$ : le signe de $f'(x)$ est donc celui de $g(x)$. D'après la partie A :

• $f'(x)>0$ sur $]-\infty\,;\alpha[$

• $f'(x)<0$ sur $]\alpha\,;0[$

• $f'(x)>0$ sur $]0\,;+\infty[$

• $f'(\alpha)=f'(0)=0$.

Donc la fonction $f$ est strictement croissante sur $]-\infty\,;\alpha]$, strictement décroissante sur $[\alpha\,;0]$, puis strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$.

Question 3.

Une fonction deux fois dérivable est convexe sur $\mathbb{R}$ si et seulement si sa dérivée est croissante sur $\mathbb{R}$ (de façon équivalente, si $f''\geqslant0$).

Or $f'$ n'est pas croissante sur $\mathbb{R}$. En effet, $\alpha<0$ donc $\alpha-1<\alpha<\dfrac{\alpha}{2}<0$, avec $\dfrac{\alpha}{2}\in]\alpha\,;0[$. D'après la question 2, $f'(\alpha-1)>0$ et $f'\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)<0$, alors que $\alpha-1<\dfrac{\alpha}{2}$.

Donc $f'$ n'est pas croissante sur $\mathbb{R}$, et la fonction $f$ n'est pas convexe sur $\mathbb{R}$.

Points clés attendus

• Lever la forme indéterminée en $+\infty$ en factorisant par $\mathrm{e}^{2x}$ et citer les croissances comparées.

• Justifier le minimum par les variations de $g$ et le calcul de $g\left(-\dfrac{\ln3}{2}\right)$.

• Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires (ou de la bijection) en vérifiant continuité, stricte monotonie et signes aux bornes, puis conclure à l'unicité sur l'intervalle choisi.

• Dériver $f$ avec la formule du produit et factoriser par $\mathrm{e}^{x}$ pour faire apparaître $g$.

• Justifier la non-convexité par le fait que $f'$ n'est pas croissante (ou que $f''$ change de signe).

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.