Bac 2023, Asie : exercice 2

Question 1. On calcule les coordonnées de $\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{MP}$ avec M$\left(1\;;\;1\;;\;\dfrac34\right)$, N$\left(0\;;\;\dfrac12\;;\;1\right)$ et P$\left(1\;;\;0\;;\;-\dfrac54\right)$.

Donc $\overrightarrow{MN}\left(-1\;;\;-\dfrac12\;;\;\dfrac14\right)$ et $\overrightarrow{MP}(0\;;\;-1\;;\;-2)$.

Réponse : $\overrightarrow{MN}\left(-1\;;\;-\dfrac12\;;\;\dfrac14\right)$   $\overrightarrow{MP}(0\;;\;-1\;;\;-2)$.

Question 2. Dans le repère $\left(A\;;\;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right)$, on a A$(0\;;\;0\;;\;0)$, B$(1\;;\;0\;;\;0)$, D$(0\;;\;1\;;\;0)$, E$(0\;;\;0\;;\;1)$, donc C$(1\;;\;1\;;\;0)$, F$(1\;;\;0\;;\;1)$, G$(1\;;\;1\;;\;1)$ et H$(0\;;\;1\;;\;1)$. On place les points de la façon suivante.

• M$\left(1\;;\;1\;;\;\dfrac34\right)$ est sur l'arête [CG] (car $x=y=1$ et $0\leqslant z\leqslant1$), aux trois quarts de la hauteur à partir de C.

• N$\left(0\;;\;\dfrac12\;;\;1\right)$ est le milieu de l'arête [EH] (car E$(0\;;\;0\;;\;1)$ et H$(0\;;\;1\;;\;1)$).

• P$\left(1\;;\;0\;;\;-\dfrac54\right)$ est sur la droite (BF) (car $x=1$ et $y=0$), à l'extérieur du cube, en dessous de B (côté opposé à F), à la distance $\dfrac54$ de B.

Question 3. Si M, N et P étaient alignés, les vecteurs $\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{MP}$ seraient colinéaires.

Or la première coordonnée de $\overrightarrow{MP}$ est $0$, alors que celle de $\overrightarrow{MN}$ est $-1\neq0$. Si $\overrightarrow{MP}=k\,\overrightarrow{MN}$, on aurait $0=-k$, donc $k=0$ et $\overrightarrow{MP}=\vec{0}$, ce qui est faux car sa deuxième coordonnée est $-1$.

Les vecteurs $\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{MP}$ ne sont donc pas colinéaires.

Donc les points M, N et P ne sont pas alignés.

Question 4.

a) Le repère étant orthonormé, on calcule le produit scalaire à l'aide des coordonnées :

Les vecteurs $\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{MP}$ sont non nuls et orthogonaux.

Donc le triangle MNP est rectangle en M.

Réponse : $\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{MP}=0$   MNP est rectangle en M.

b) Le triangle MNP étant rectangle en M, son aire est $\dfrac12\times MN\times MP$.

Le repère étant orthonormé :

Donc

Donc l'aire du triangle MNP est $\dfrac{\sqrt{105}}{8}$ (en unités d'aire).

Réponse : $\mathcal{A}_{MNP}=\dfrac{\sqrt{105}}{8}$.

Question 5.

a) On calcule les produits scalaires de $\vec{n}(5\;;\;-8\;;\;4)$ avec $\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{MP}$ :

Le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal à $\overrightarrow{MN}$ et à $\overrightarrow{MP}$, qui sont deux vecteurs non colinéaires du plan (MNP) (question 3).

Donc $\vec{n}$ est un vecteur normal au plan (MNP).

b) Le plan (MNP) a pour vecteur normal $\vec{n}(5\;;\;-8\;;\;4)$, donc il admet une équation cartésienne de la forme $5x-8y+4z+d=0$.

Le point M appartient au plan, donc

On vérifie avec N et P :

Donc une équation cartésienne du plan (MNP) est $5x-8y+4z=0$.

Question 6. La droite $d$ est orthogonale au plan (MNP), donc le vecteur normal $\vec{n}(5\;;\;-8\;;\;4)$ est un vecteur directeur de $d$.

La droite $d$ passe par F$(1\;;\;0\;;\;1)$.

Un point Q$(x\;;\;y\;;\;z)$ appartient à $d$ si et seulement s'il existe un réel $t$ tel que $\overrightarrow{FQ}=t\,\vec{n}$, ce qui donne

Donc $d$ admet pour représentation paramétrique $x=1+5t$, $y=-8t$, $z=1+4t$, $t\in\mathbb{R}$.

Réponse : $d$ : $x=1+5t$, $y=-8t$, $z=1+4t$, $t\in\mathbb{R}$.

Question 7. Le projeté orthogonal L de F sur le plan (MNP) est le point d'intersection de la droite $d$ (orthogonale au plan et passant par F) et du plan (MNP).

Les coordonnées de L vérifient la représentation paramétrique de $d$ et l'équation du plan. On remplace donc dans $5x-8y+4z=0$ :

On développe :

On remplace $t=-\dfrac{3}{35}$ dans la représentation paramétrique :

Donc L$\left(\dfrac47\;;\;\dfrac{24}{35}\;;\;\dfrac{23}{35}\right)$.

Question 8. Le point L étant le projeté orthogonal de F sur le plan (MNP), la distance FL est la distance de F au plan (MNP).

On a $\overrightarrow{FL}=t\,\vec{n}$ avec $t=-\dfrac3{35}$, donc

Donc $FL=\dfrac{3\sqrt{105}}{35}$.

Dans le tétraèdre FMNP, on choisit pour base le triangle MNP, d'aire $\dfrac{\sqrt{105}}{8}$ (question 4.b). La hauteur associée à cette base est FL, car (FL) est orthogonale au plan (MNP) qui contient la base.

On applique la formule $V=\dfrac13\times\text{aire d'une base}\times\text{hauteur associée}$ :

Donc le volume du tétraèdre FMNP est $\dfrac38$ (en unités de volume).

Réponse : $FL=\dfrac{3\sqrt{105}}{35}$   $V=\dfrac38$.

Points clés attendus

• Justifier la non-colinéarité par un argument sur les coordonnées, et pas seulement l'affirmer.

• Produit scalaire nul : triangle rectangle   l'aire se calcule alors avec les deux côtés de l'angle droit.

• Pour un vecteur normal : orthogonalité avec deux vecteurs non colinéaires du plan   l'équation cartésienne se déduit d'un point, puis se vérifie avec les autres.

• Le projeté orthogonal est l'intersection de la droite orthogonale au plan passant par F et du plan   la distance FL se calcule avec $|t|\times\|\vec{n}\|$.

• Identifier la hauteur du tétraèdre associée à la base MNP et citer la formule du volume.

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