Terminale Spé Maths / Chapitre 12 : Succession d'épreuves et loi binomiale / Annales du bac

Bac 2023, Amérique du Nord : exercice 1

27 mars 2023 · jour 1 · 5 points

Chapitre 12 : Succession d'épreuves et loi binomiale

Dans un souci d'améliorer sa politique en matière de développement durable, une entreprise a réalisé une enquête statistique sur sa production de déchets.

Dans cette enquête, les déchets sont classés en trois catégories :

$69\,\%$ des déchets sont minéraux et non dangereux
$28\,\%$ des déchets sont non minéraux et non dangereux
les déchets restants sont des déchets dangereux.

Cette enquête statistique nous apprend également que :

$73\,\%$ des déchets minéraux et non dangereux sont recyclables
$49\,\%$ des déchets non minéraux et non dangereux sont recyclables
$35\,\%$ des déchets dangereux sont recyclables.

Les parties { A} et { B} sont indépendantes et peuvent être traitées séparément.

Partie A

Dans cette entreprise, on prélève au hasard un déchet. On considère les évènements suivants :

$M$ : « Le déchet prélevé est minéral et non dangereux »
$N$ : « Le déchet prélevé est non minéral et non dangereux »
$D$ : « Le déchet prélevé est dangereux »
$R$ : « Le déchet prélevé est recyclable ».

On note $\overline{R}$ l'évènement contraire de l'évènement $R$ .

Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous représentant la situation de l'énoncé.

Figure de l'énoncé, exercice 1, Amérique du Nord 27 mars 2023

Justifier que la probabilité que le déchet soit dangereux et recyclable est égale à 0,0105.
Déterminer la probabilité $P\left(M \cap \overline{R}\right)$ et interpréter la réponse obtenue dans le contexte de l'exercice.
Démontrer que la probabilité de l'évènement $R$ est $P(R)=0,6514$ .
On suppose que le déchet prélevé est recyclable. Déterminer la probabilité que ce déchet soit non minéral et non dangereux. On donnera la valeur arrondie au dix-millième.

Partie B

On rappelle que la probabilité qu'un déchet prélevé au hasard soit recyclable est égale à 0,6514.

Afin de contrôler la qualité de la collecte dans l'entreprise, on prélève un échantillon de 20 déchets pris au hasard dans la production. On suppose que le stock est suffisamment important pour assimiler le prélèvement de cet échantillon à un tirage avec remise.

On désigne par $X$ la variable aléatoire égale au nombre de déchets recyclables dans cet échantillon.
1. On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.
2. Donner la probabilité que l'échantillon contienne exactement 14 déchets recyclables. On donnera la valeur arrondie au dix-millième.
Dans cette question, on prélève désormais $n$ déchets, où $n$ désigne un entier naturel strictement positif.
1. Donner l'expression en fonction de $n$ de la probabilité $p_{n}$ qu'aucun déchet de cet échantillon ne soit recyclable.
2. Déterminer la valeur de l'entier naturel $n$ à partir de laquelle la probabilité qu'au moins un déchet du prélèvement soit recyclable est supérieure ou égale à 0,9999.

Voir le corrigé

Partie A

Question 1.

Les déchets sont répartis en trois catégories : $M$ , $N$ et $D$ . La proportion de déchets dangereux est

P(D)=1-0{,}69-0{,}28=0{,}03.

On traduit les données de l'énoncé en probabilités. Premier niveau de l'arbre :

$P(M)=0{,}69$
$P(N)=0{,}28$
$P(D)=0{,}03$ .

Second niveau de l'arbre, sachant la catégorie du déchet :

$P_M(R)=0{,}73$ et $P_M\left(\overline{R}\right)=1-0{,}73=0{,}27$
$P_N(R)=0{,}49$ et $P_N\left(\overline{R}\right)=1-0{,}49=0{,}51$
$P_D(R)=0{,}35$ et $P_D\left(\overline{R}\right)=1-0{,}35=0{,}65$ .

Donc l'arbre se complète avec ces valeurs : la somme des probabilités issues de chaque nœud vaut bien $1$ .

Question 2.

L'évènement « le déchet est dangereux et recyclable » est $D\cap R$ .

D'après la formule de la probabilité d'une intersection,

P(D\cap R)=P(D)\times P_D(R)=0{,}03\times0{,}35=0{,}0105.

Donc la probabilité que le déchet soit dangereux et recyclable est égale à $0{,}0105$ .

Question 3.

De même,

P\left(M\cap\overline{R}\right)=P(M)\times P_M\left(\overline{R}\right)=0{,}69\times0{,}27=0{,}1863.

Interprétation : $18{,}63\,\%$ des déchets produits par l'entreprise sont minéraux, non dangereux et non recyclables.

Donc $P\left(M\cap\overline{R}\right)=0{,}1863$ .

Réponse : $P\left(M\cap\overline{R}\right)=0{,}1863$ .

Question 4.

Les évènements $M$ , $N$ et $D$ sont deux à deux incompatibles et leur réunion est l'univers : ils forment une partition de l'univers.

D'après la formule des probabilités totales,

P(R)=P(M\cap R)+P(N\cap R)+P(D\cap R).

On calcule chaque terme :

\begin{aligned} P(M\cap R)&=P(M)\times P_M(R)=0{,}69\times0{,}73=0{,}5037,\\ P(N\cap R)&=P(N)\times P_N(R)=0{,}28\times0{,}49=0{,}1372,\\ P(D\cap R)&=0{,}0105\quad\text{(question 2)}. \end{aligned}

Donc

P(R)=0{,}5037+0{,}1372+0{,}0105=0{,}6514.

Donc la probabilité de l'évènement $R$ est $P(R)=0{,}6514$ .

Question 5.

On cherche la probabilité que le déchet soit non minéral et non dangereux sachant qu'il est recyclable, c'est-à-dire $P_R(N)$ .

D'après la définition de la probabilité conditionnelle (avec $P(R)\neq0$ ),

P_R(N)=\dfrac{P(N\cap R)}{P(R)}=\dfrac{0{,}1372}{0{,}6514}\approx0{,}2106.

Donc, sachant que le déchet prélevé est recyclable, la probabilité qu'il soit non minéral et non dangereux est environ $0{,}2106$ (valeur arrondie au dix-millième).

Réponse : $P_R(N)=\dfrac{0{,}1372}{0{,}6514}\approx0{,}2106$ .

Partie B

Question 1. a)

On prélève $20$ déchets, et le prélèvement est assimilé à un tirage avec remise : on répète donc $20$ fois, de façon identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli dont le succès est « le déchet est recyclable », de probabilité $p=0{,}6514$ .

La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès : elle suit donc la loi binomiale de paramètres $n=20$ et $p=0{,}6514$ .

Réponse : $X\sim\mathcal{B}(20\,;0{,}6514)$ .

1. b)

Pour la loi binomiale,

P(X=14)=\binom{20}{14}\times0{,}6514^{14}\times(1-0{,}6514)^{6}=\binom{20}{14}\times0{,}6514^{14}\times0{,}3486^{6}.

À la calculatrice, on obtient $P(X=14)\approx0{,}1723$ .

Donc la probabilité que l'échantillon contienne exactement $14$ déchets recyclables est environ $0{,}1723$ (valeur arrondie au dix-millième).

Réponse : $P(X=14)\approx0{,}1723$ .

Question 2. a)

On prélève $n$ déchets de façon identique et indépendante. Chaque déchet n'est pas recyclable avec la probabilité $1-0{,}6514=0{,}3486$ .

La probabilité qu'aucun déchet ne soit recyclable est donc

p_n=0{,}3486^{\,n}.

2. b)

L'évènement « au moins un déchet est recyclable » est l'évènement contraire de « aucun déchet n'est recyclable » : sa probabilité est $1-p_n=1-0{,}3486^{\,n}$ .

On résout :

\begin{aligned} 1-0{,}3486^{\,n}\geqslant0{,}9999&\iff0{,}3486^{\,n}\leqslant0{,}0001=10^{-4}. \end{aligned}

La fonction $\ln$ est strictement croissante sur $]0\,;+\infty[$ , donc

0{,}3486^{\,n}\leqslant10^{-4}\iff n\ln(0{,}3486)\leqslant-4\ln(10).

Or $0{,}3486<1$ donc $\ln(0{,}3486)<0$ : en divisant par ce nombre négatif, le sens de l'inégalité change.

n\geqslant\dfrac{-4\ln(10)}{\ln(0{,}3486)}\approx8{,}74.

Le plus petit entier convenable est $n=9$ .

Vérification : $1-0{,}3486^{8}\approx0{,}99978<0{,}9999$ et $1-0{,}3486^{9}\approx0{,}99992\geqslant0{,}9999$ .

Donc la probabilité d'obtenir au moins un déchet recyclable est supérieure ou égale à $0{,}9999$ à partir de $n=9$ déchets prélevés.

Réponse : $n\geqslant9$ .

Points clés attendus

Traduire l'énoncé en probabilités conditionnelles et compléter l'arbre (somme des branches égale à $1$ ).
Citer la formule des probabilités totales en précisant que $M$ , $N$ , $D$ forment une partition.
Utiliser la formule de la probabilité conditionnelle pour $P_R(N)$ et donner l'arrondi demandé.
Justifier la loi binomiale : répétition de $20$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes (tirage avec remise).
Passer par l'évènement contraire pour « au moins un » et changer le sens de l'inégalité en divisant par $\ln(0{,}3486)<0$ .

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.

Comment t'entraîner

Chronomètre-toi, rédige sur papier comme le jour du bac, puis seulement après regarde le cours. Si tu bloques sur une question, écris « on admet que… » et passe à la suivante.

Les autres exercices de ce sujet

Exercice 2 · 5 points · Dérivation et convexité
Exercice 3 · 5 points · Vecteurs, droites et plans de l'espace · Orthogonalité et distances dans l'espace
Exercice 4 · 5 points · Suites

Revoir le cours

Chapitre 12 : Succession d'épreuves et loi binomiale : le cours · exercices type bac corrigés

Source : sujet officiel de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat, session 2023 (Amérique du Nord, 27 mars 2023 (jour 1)), ministère de l'Éducation nationale. Énoncé mis en forme pour le web à partir du tapuscrit de l'APMEP (Denis Vergès) ; figures issues des fichiers de l'APMEP. En cas de doute sur un détail, le sujet officiel fait foi.

Un doute sur un exercice ou sur ta méthode de rédaction ? On en parle ensemble, sans engagement.

Réserver un appel découverte