Bac 2026, Métropole : exercice 3

Affirmation 1 : vraie.

Trois vecteurs de l'espace forment une base si et seulement s'ils ne sont pas coplanaires.

Les vecteurs $\vec u\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}$ et $\vec v\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}$ ne sont pas colinéaires : la première coordonnée de $\vec v$ est nulle alors que celle de $\vec u$ ne l'est pas, et la deuxième coordonnée de $\vec u$ est nulle alors que celle de $\vec v$ ne l'est pas.

Donc $\vec u$, $\vec v$ et $\vec w$ sont coplanaires si et seulement s'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que $\vec w=a\vec u+b\vec v$.

On cherche de tels réels. L'égalité $\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}=a\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}+b\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}$ équivaut au système

Les deux premières équations donnent $a=2$ et $b=1$, et la troisième devient alors $2\times2+3\times1=7=0$, ce qui est faux.

Le système n'a pas de solution : $\vec w$ n'est pas combinaison linéaire de $\vec u$ et $\vec v$.

Les vecteurs $\vec u$, $\vec v$ et $\vec w$ ne sont donc pas coplanaires.

Vérification par le déterminant : en développant selon la deuxième colonne,

Ce déterminant est non nul, ce qui confirme que les trois vecteurs ne sont pas coplanaires.

Donc les vecteurs $\vec u$, $\vec v$ et $\vec w$ forment une base de l'espace : l'affirmation 1 est vraie.

Réponse : vraie.

Affirmation 2 : vraie.

On calcule les coordonnées des vecteurs utiles :

On calcule les produits scalaires de $\overrightarrow{CD}$ avec $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ :

Les points A, B et C ne sont pas alignés (admis), donc $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC).

Le vecteur $\overrightarrow{CD}$, directeur de la droite (CD), est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) : il est orthogonal à tout vecteur de ce plan, donc normal à (ABC).

Donc la droite (CD) est orthogonale au plan (ABC) : l'affirmation 2 est vraie.

Réponse : vraie.

Affirmation 3 : fausse.

Le plan $P_1$ est de vecteur normal $\vec n\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}$, donc il admet une équation cartésienne de la forme $x-2y+3z+d=0$.

Le point E$(1\,;1\,;-1)$ appartient à $P_1$ :

Une équation cartésienne de $P_1$ est donc $x-2y+3z+4=0$.

Le point M$(2\,;2\,;-1)$ appartient à la droite $d$ : pour $t=1$, on obtient $x=2$, $y=-2+4=2$ et $z=-2+1=-1$.

On teste si M appartient à $P_1$ :

Donc M n'appartient pas au plan $P_1$, et M n'est pas dans l'intersection de $d$ et de $P_1$.

L'affirmation 3 est donc fausse.

Pour déterminer l'intersection réelle : le point de $d$ de paramètre $t$ appartient à $P_1$ si et seulement si

La droite $d$ n'est pas contenue dans $P_1$ et le coefficient $-3$ est non nul, donc l'intersection est un unique point, obtenu pour $t=\dfrac23$ : $\left(\dfrac43\,;\dfrac23\,;-\dfrac43\right)$.

Réponse : fausse   l'intersection est le point $\left(\dfrac43\,;\dfrac23\,;-\dfrac43\right)$ et non M.

Affirmation 4 : vraie.

Le plan $P_2$ a pour équation $x+2y-2z+3=0$, donc il admet pour vecteur normal $\vec n\begin{pmatrix}1\\2\\-2\end{pmatrix}$, de norme

On vérifie que H appartient à $P_2$ : $1+2\times(-2)-2\times0+3=1-4+3=0$.

On a $\overrightarrow{NH}\begin{pmatrix}1-2\\-2-0\\0-(-2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-2\\2\end{pmatrix}=-\vec n$.

Le vecteur $\overrightarrow{NH}$ est donc colinéaire à $\vec n$ : la droite (NH) est orthogonale à $P_2$.

Comme H appartient à $P_2$, le point H est le projeté orthogonal de N sur $P_2$.

La distance de N au plan $P_2$ est la distance de N à son projeté orthogonal, donc $d(\mathrm N,P_2)=NH=\|-\vec n\|=3$.

On retrouve ce résultat avec la formule de la distance d'un point à un plan :

Donc la distance de N au plan $P_2$ est NH : l'affirmation 4 est vraie.

Réponse : vraie, $d(\mathrm N,P_2)=NH=3$.

Points clés attendus

• Base de l'espace : montrer que $\vec w$ n'est pas combinaison linéaire de $\vec u$ et $\vec v$ (système incompatible) ou calculer un déterminant non nul.

• Orthogonalité droite-plan : produit scalaire nul avec deux vecteurs non colinéaires du plan, en citant leur non-colinéarité.

• Intersection droite-plan : équation cartésienne du plan, puis test d'appartenance du point proposé   un point de la droite n'est pas forcément dans le plan.

• Distance à un plan : H dans le plan et $\overrightarrow{NH}$ colinéaire au vecteur normal, ou formule de la distance avec valeur absolue.

• Chaque affirmation fausse ou vraie doit être justifiée par un calcul ou un contre-exemple.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.