Terminale Spé Maths / Chapitre 11 : Orthogonalité et distances dans l'espace / Annales du bac

Bac 2026, Métropole : exercice 4

9 septembre 2026 · jour 2 · 5 points

L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(\mathrm{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$ d'unité 1 cm.

Partie A

On considère les points de l'espace R $(1 ; 0 ; 6)$ , S $(1 ; 3 ; 2)$ , T $(3,5 ; 7 ; 5)$ et A $(-2,5 ; 8 ; 4,5)$ .

Démontrer que les points R, S et T ne sont pas alignés.
1. Démontrer que le vecteur $\overrightarrow{n} \begin{pmatrix} -10 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (RST).
2. En déduire une équation cartésienne du plan (RST).
1. Vérifier que la point A n'appartient pas au plan (RST).
2. On note $d_1$ la droite passant par le point A et orthogonale au plan (RST).
  
  Déterminer une représentation paramétrique de la droite $d_1$ .
3. Soit le point H projeté orthogonal de A sur (RST).
  
  Vérifier que ses coordonnées sont $(2,5 ; 6 ; 3)$ .
1. Démontrer que le triangle RST est rectangle en S.
2. Vérifier que le volume du tétraèdre ARST est égal à $\dfrac{625}{24}$ cm³.
  
  On rappelle que le volume du tétraèdre est donné par la formule :
  $V= \frac{1}{3} \times \text{aire de la base} \times \text{hauteur}$

Partie B

Soit M $(x ; y ; z)$ un point de la droite $d_2$ de représentation paramétrique :

\begin{cases}x=-4,5 +s \\ y=4-4s \\ z=5,5-2s \end{cases},\, s \in \mathbb{R}

Démontrer que $\mathrm{AM}^2 = 21s^2 + 24s + 21$ .
Déterminer les coordonnées du point M de la droite $d_2$ pour lesquelles la distance AM est minimale.

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Partie A

Question 1. On calcule les coordonnées des vecteurs, coordonnée par coordonnée :

\overrightarrow{RS}\begin{pmatrix}1-1\\3-0\\2-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\3\\-4\end{pmatrix},\qquad\overrightarrow{RT}\begin{pmatrix}3{,}5-1\\7-0\\5-6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2{,}5\\7\\-1\end{pmatrix}.

Supposons que ces vecteurs soient colinéaires. Comme $\overrightarrow{RS}\neq\vec 0$ , il existerait un réel $k$ tel que $\overrightarrow{RT}=k\,\overrightarrow{RS}$ .

La première coordonnée donnerait $2{,}5=k\times 0=0$ , ce qui est absurde.

Donc $\overrightarrow{RS}$ et $\overrightarrow{RT}$ ne sont pas colinéaires.

Donc les points R, S et T ne sont pas alignés.

Question 2. a) Les vecteurs $\overrightarrow{RS}$ et $\overrightarrow{RT}$ sont non colinéaires d'après la question 1 : ce sont deux vecteurs directeurs du plan (RST).

On calcule les produits scalaires avec $\vec n\begin{pmatrix}-10\\4\\3\end{pmatrix}$ :

\begin{aligned} \vec n\cdot\overrightarrow{RS}&=(-10)\times 0+4\times 3+3\times(-4)=0+12-12=0,\\ \vec n\cdot\overrightarrow{RT}&=(-10)\times 2{,}5+4\times 7+3\times(-1)=-25+28-3=0. \end{aligned}

Le vecteur $\vec n$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (RST).

Donc $\vec n$ est un vecteur normal au plan (RST).

Question 2. b) Le plan (RST) a pour vecteur normal $\vec n\begin{pmatrix}-10\\4\\3\end{pmatrix}$ , donc il admet une équation cartésienne de la forme

-10x+4y+3z+d=0,\quad d\in\mathbb{R}.

Le point R $(1\,;0\,;6)$ appartient au plan, donc

-10\times 1+4\times 0+3\times 6+d=0\iff 8+d=0\iff d=-8.

Une équation cartésienne du plan (RST) est donc

-10x+4y+3z-8=0.

Vérifications : pour S $(1\,;3\,;2)$ , $-10+12+6-8=0$   pour T $(3{,}5\,;7\,;5)$ , $-35+28+15-8=0$ .

Donc les trois points vérifient l'équation, ce qui confirme le résultat.

Réponse : (RST) : $-10x+4y+3z-8=0$ .

Question 3. a) On remplace les coordonnées de A $(-2{,}5\,;8\,;4{,}5)$ dans le membre de gauche de l'équation :

-10\times(-2{,}5)+4\times 8+3\times 4{,}5-8=25+32+13{,}5-8=62{,}5.

Comme $62{,}5\neq 0$ , les coordonnées de A ne vérifient pas l'équation du plan.

Donc le point A n'appartient pas au plan (RST).

Question 3. b) La droite $d_1$ est orthogonale au plan (RST), donc le vecteur normal $\vec n\begin{pmatrix}-10\\4\\3\end{pmatrix}$ est un vecteur directeur de $d_1$ .

Elle passe par A $(-2{,}5\,;8\,;4{,}5)$ . Une représentation paramétrique de $d_1$ est donc

\begin{cases}x=-2{,}5-10t\\y=8+4t\\z=4{,}5+3t\end{cases},\quad t\in\mathbb{R}.

Question 3. c) Le projeté orthogonal H de A sur (RST) est le point d'intersection de la droite $d_1$ et du plan (RST).

Remplaçons les coordonnées d'un point de $d_1$ dans l'équation du plan :

-10(-2{,}5-10t)+4(8+4t)+3(4{,}5+3t)-8=0.

On développe :

25+100t+32+16t+13{,}5+9t-8=0\iff 62{,}5+125t=0\iff t=-0{,}5.

Pour $t=-0{,}5$ , on obtient

x=-2{,}5+5=2{,}5,\qquad y=8-2=6,\qquad z=4{,}5-1{,}5=3.

Donc H a pour coordonnées $(2{,}5\,;6\,;3)$ .

Question 4. a) On calcule

\overrightarrow{SR}\begin{pmatrix}1-1\\0-3\\6-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-3\\4\end{pmatrix},\qquad\overrightarrow{ST}\begin{pmatrix}3{,}5-1\\7-3\\5-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2{,}5\\4\\3\end{pmatrix}.

Le produit scalaire vaut

\overrightarrow{SR}\cdot\overrightarrow{ST}=0\times 2{,}5+(-3)\times 4+4\times 3=0-12+12=0.

Les vecteurs $\overrightarrow{SR}$ et $\overrightarrow{ST}$ sont orthogonaux.

Donc le triangle RST est rectangle en S.

Question 4. b) Les longueurs des côtés de l'angle droit sont

SR=\sqrt{0^2+(-3)^2+4^2}=\sqrt{25}=5,\qquad ST=\sqrt{2{,}5^2+4^2+3^2}=\sqrt{31{,}25}=\dfrac{5\sqrt5}{2}.

Le triangle RST est rectangle en S, donc son aire est

\mathcal{A}_{RST}=\dfrac{SR\times ST}{2}=\dfrac{5\times\dfrac{5\sqrt5}{2}}{2}=\dfrac{25\sqrt5}{4}\ \text{cm}^2.

La hauteur du tétraèdre ARST relative à la base RST est la distance de A au plan (RST), c'est-à-dire $AH$ , car H est le projeté orthogonal de A sur ce plan.

On calcule

\overrightarrow{AH}\begin{pmatrix}2{,}5-(-2{,}5)\\6-8\\3-4{,}5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\-2\\-1{,}5\end{pmatrix},\quad AH=\sqrt{25+4+2{,}25}=\sqrt{31{,}25}=\dfrac{5\sqrt5}{2}\ \text{cm}.

D'après la formule $V=\dfrac13\times\text{aire de la base}\times\text{hauteur}$ ,

V=\dfrac13\times\dfrac{25\sqrt5}{4}\times\dfrac{5\sqrt5}{2}=\dfrac13\times\dfrac{125\times 5}{8}=\dfrac13\times\dfrac{625}{8}=\dfrac{625}{24}.

Donc le volume du tétraèdre ARST est égal à $\dfrac{625}{24}\ \text{cm}^3$ .

Partie B

Question 1. Un point M de $d_2$ a pour coordonnées $(-4{,}5+s\,;4-4s\,;5{,}5-2s)$ et A a pour coordonnées $(-2{,}5\,;8\,;4{,}5)$ .

Donc

\overrightarrow{AM}\begin{pmatrix}-4{,}5+s-(-2{,}5)\\4-4s-8\\5{,}5-2s-4{,}5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}s-2\\-4-4s\\1-2s\end{pmatrix}.

Le repère étant orthonormé,

\begin{aligned} AM^2&=(s-2)^2+(-4-4s)^2+(1-2s)^2\\ &=\left(s^2-4s+4\right)+\left(16s^2+32s+16\right)+\left(4s^2-4s+1\right)\\ &=21s^2+24s+21. \end{aligned}

Donc $AM^2=21s^2+24s+21$ .

Question 2. La distance $AM$ est positive et la fonction racine carrée est strictement croissante sur $[0\,;+\infty[$ : $AM$ est minimale si et seulement si $AM^2$ l'est.

La fonction $h:s\mapsto 21s^2+24s+21$ est un trinôme du second degré dont le coefficient dominant $21$ est strictement positif : elle admet un minimum, atteint en

s=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{24}{2\times 21}=-\dfrac{4}{7}.

On remplace $s=-\dfrac47$ dans la représentation paramétrique de $d_2$ :

\begin{aligned} x&=-4{,}5-\dfrac47=-\dfrac92-\dfrac47=-\dfrac{63}{14}-\dfrac{8}{14}=-\dfrac{71}{14},\\ y&=4-4\times\left(-\dfrac47\right)=4+\dfrac{16}{7}=\dfrac{44}{7},\\ z&=5{,}5-2\times\left(-\dfrac47\right)=\dfrac{11}{2}+\dfrac87=\dfrac{77}{14}+\dfrac{16}{14}=\dfrac{93}{14}. \end{aligned}

Le minimum de $AM^2$ vaut $h\left(-\dfrac47\right)=21\times\dfrac{16}{49}-\dfrac{96}{7}+21=\dfrac{99}{7}$ .

Donc la distance AM est minimale pour le point $M\left(-\dfrac{71}{14}\,;\dfrac{44}{7}\,;\dfrac{93}{14}\right)$ , et alors $AM^2=\dfrac{99}{7}$ .

Réponse : $M\left(-\dfrac{71}{14}\,;\dfrac{44}{7}\,;\dfrac{93}{14}\right)$ , obtenu pour $s=-\dfrac47$ .

Points clés attendus

Justifier la non-colinéarité par une coordonnée (ou un système) et pas seulement par « cela se voit ».
Pour le vecteur normal, calculer deux produits scalaires nuls avec deux vecteurs non colinéaires du plan.
Déterminer $d$ dans l'équation du plan en remplaçant les coordonnées d'un point, et vérifier avec un autre point.
Pour le volume, citer la formule, identifier la hauteur comme la distance $AH$ et utiliser l'aire du triangle rectangle.
Pour la distance minimale, passer par $AM^2$ et utiliser le sommet du trinôme, sans oublier de calculer les trois coordonnées de M.

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Source : sujet officiel de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat, session 2026 (Métropole, 9 septembre 2026 (jour 2)), ministère de l'Éducation nationale. Énoncé mis en forme pour le web à partir du tapuscrit de l'APMEP (Denis Vergès et Laure Bienaimé) ; figures issues des fichiers de l'APMEP. En cas de doute sur un détail, le sujet officiel fait foi.

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