Bac 2026, Métropole : exercice 2

Partie A

L'énoncé écrit « $f()=\dfrac{2x}{x+3}$ » : il s'agit de la fonction $f(x)=\dfrac{2x}{x+3}$.

Question 1.

La fonction $f$ est dérivable sur $]-3\,;+\infty[$ (donnée de l'énoncé)   c'est un quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur $x+3$ ne s'annule pas sur cet intervalle.

On pose $u(x)=2x$ et $w(x)=x+3$, d'où $u'(x)=2$ et $w'(x)=1$.

D'après la formule de dérivation d'un quotient $\left(\dfrac uw\right)'=\dfrac{u'w-uw'}{w^2}$, pour tout $x>-3$ :

Pour tout $x>-3$, on a $(x+3)^2>0$, donc $f'(x)=\dfrac{6}{(x+3)^2}>0$.

Une fonction dérivable de dérivée strictement positive sur un intervalle est strictement croissante sur cet intervalle.

Donc $f$ est strictement croissante sur $]-3\,;+\infty[$.

Question 2.

Pour tout entier naturel $n$, on note $\mathcal P(n)$ la propriété : $0\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n\leqslant1$.

Initialisation.

On a $u_0=1$ et $u_1=f(u_0)=f(1)=\dfrac{2\times1}{1+3}=\dfrac12$.

Donc $0\leqslant u_1\leqslant u_0\leqslant1$ car $0\leqslant\dfrac12\leqslant1\leqslant1$ : $\mathcal P(0)$ est vraie.

Hérédité.

Soit $k$ un entier naturel fixé tel que $\mathcal P(k)$ soit vraie, c'est-à-dire

Montrons que $\mathcal P(k+1)$ est vraie, c'est-à-dire $0\leqslant u_{k+2}\leqslant u_{k+1}\leqslant1$.

Les réels $0$, $u_{k+1}$, $u_k$ et $1$ appartiennent à $[0\,;1]\subset\,]-3\,;+\infty[$, intervalle sur lequel $f$ est strictement croissante (question 1).

On applique $f$ à chaque membre de l'hypothèse de récurrence en conservant le sens des inégalités :

On a $f(0)=0$, $f(u_{k+1})=u_{k+2}$, $f(u_k)=u_{k+1}$ et $f(1)=\dfrac12$.

On obtient donc

Comme $\dfrac12\leqslant1$, on en déduit $0\leqslant u_{k+2}\leqslant u_{k+1}\leqslant1$.

Donc $\mathcal P(k+1)$ est vraie.

Conclusion.

$\mathcal P(0)$ est vraie et la propriété est héréditaire : d'après le principe de récurrence, $\mathcal P(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$.

Donc, pour tout entier naturel $n$, $0\leqslant u_{n+1}\leqslant u_n\leqslant1$.

Question 3.

D'après la question 2, pour tout entier $n$, $u_{n+1}\leqslant u_n$ : la suite $(u_n)$ est décroissante.

D'après la même question, $u_n\geqslant u_{n+1}\geqslant0$ pour tout $n$ : la suite $(u_n)$ est minorée par $0$.

D'après le théorème de la limite monotone (toute suite décroissante et minorée converge), la suite $(u_n)$ est convergente.

Partie B

Question 1.

On admet que $u_n\neq0$ pour tout $n$, donc $v_n=\dfrac1{u_n}$ est bien défini.

Pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1}=\dfrac{2u_n}{u_n+3}$, donc

Donc, pour tout entier naturel $n$,

Question 2.

Pour tout entier naturel $n$, on a $w_n=v_n+1$.

On exprime $w_{n+1}$ à l'aide de $w_n$ :

Donc la suite $(w_n)$ est géométrique de raison $q=\dfrac32$.

Son premier terme est

Réponse : $(w_n)$ est géométrique de raison $\dfrac32$ et de premier terme $w_0=2$.

Question 3.

La suite $(w_n)$ est géométrique de raison $\dfrac32$ et de premier terme $2$, donc, pour tout entier naturel $n$,

On en déduit $v_n=w_n-1=2\left(\dfrac32\right)^n-1$.

Comme $v_n=\dfrac1{u_n}$, on obtient $u_n=\dfrac1{v_n}$, c'est-à-dire

Donc, pour tout entier naturel $n$, $u_n=\dfrac{1}{2\left(\frac32\right)^n-1}$.

Question 4.

On a $\dfrac32>1$, donc $\lim\limits_{n\to+\infty}\left(\dfrac32\right)^n=+\infty$.

Par produit par $2>0$ puis addition de $-1$,

Par limite de l'inverse, $\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{2\left(\frac32\right)^n-1}=0$.

Donc la suite $(u_n)$ a pour limite $0$.

Réponse : $\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0$.

Question 5. a)

La variable u contient $u_0=1$ au départ.

La boucle while doit continuer tant que le seuil n'est pas atteint, c'est-à-dire tant que $u>10^{-3}$.

À chaque passage, n augmente de $1$ et u est remplacé par $f(u)=\dfrac{2u}{u+3}$.

La fonction renvoie n, premier indice pour lequel $u\leqslant10^{-3}$.

Script complété :

def seuil():
    n = 0
    u = 1
    while u > 10**(-3):
        n = n + 1
        u = 2*u/(u+3)
    return n

Question 5. b)

La fonction seuil() renvoie le plus petit entier $n$ tel que $u_n\leqslant10^{-3}$.

On résout l'inéquation avec l'expression de la question 3 (le dénominateur $2\left(\frac32\right)^n-1$ est strictement positif) :

On calcule, à la calculatrice :

Comme la suite $\left(\left(\dfrac32\right)^n\right)$ est strictement croissante, l'inégalité est fausse pour $n\leqslant15$ et vraie pour $n\geqslant16$.

On peut le vérifier sur les termes : $u_{15}\approx1{,}14\times10^{-3}>10^{-3}$ et $u_{16}\approx7{,}6\times10^{-4}\leqslant10^{-3}$.

Donc la fonction seuil() renvoie $16$.

Réponse : $16$.

Points clés attendus

• Dérivée d'un quotient détaillée, signe de $f'$ justifié par un carré strictement positif, puis croissance de $f$.

• Récurrence : énoncer l'hypothèse de récurrence, utiliser la croissance de $f$ sur un intervalle contenant les termes, avec $f(0)=0$ et $f(1)=\dfrac12$.

• Convergence : citer le théorème de la limite monotone (suite décroissante et minorée).

• Suite auxiliaire : montrer $w_{n+1}=\dfrac32\,w_n$ pour reconnaître une suite géométrique, donner raison et premier terme, puis revenir à $u_n$.

• Script Python : condition u > 10**(-3), mise à jour de u, valeur renvoyée justifiée par le calcul de $\left(\dfrac32\right)^n$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.