Bac 2026, Métropole : exercice 4

L'énoncé écrit « fonction de la variable $y$ » pour l'équation $(E)$ : l'inconnue $y$ est une fonction de la variable $t$.

Partie A

Question 1.

L'équation $(E')$ : $2y'+3y=0$ équivaut à $y'=-\dfrac32\,y$.

C'est une équation différentielle linéaire homogène du premier ordre $y'=ay$ avec $a=-\dfrac32$.

Ses solutions sur $[0\,;+\infty[$ sont les fonctions $t\longmapsto C\,\mathrm{e}^{-\frac32t}$, avec $C\in\mathbb{R}$.

Réponse : les solutions de $(E')$ sont les fonctions $t\longmapsto C\,\mathrm{e}^{-\frac32t}$, $C\in\mathbb{R}$.

Question 2.

Par hypothèse, $f$ est solution de $(E)$ : pour tout $t\geqslant0$,

Soit $g$ une fonction définie et dérivable sur $[0\,;+\infty[$. La fonction $g-f$ est dérivable et, par linéarité de la dérivation, pour tout $t\geqslant0$ :

On en déduit les équivalences suivantes :

$g-f$ est solution de $(E')$ $\iff$ pour tout $t\geqslant0$, $2g'(t)+3g(t)-8\,\mathrm{e}^{-\frac32t}=0$

$\iff$ pour tout $t\geqslant0$, $2g'(t)+3g(t)=8\,\mathrm{e}^{-\frac32t}$

$\iff$ $g$ est solution de $(E)$.

Donc « $g$ est solution de $(E)$ » est équivalent à « $g-f$ est solution de $(E')$ ».

Question 3.

D'après la question 2, $g$ est solution de $(E)$ si et seulement si $g-f$ est solution de $(E')$.

D'après la question 1, cela équivaut à l'existence d'un réel $C$ tel que, pour tout $t\geqslant0$, $g(t)-f(t)=C\,\mathrm{e}^{-\frac32t}$.

Donc $g(t)=f(t)+C\,\mathrm{e}^{-\frac32t}=4t\,\mathrm{e}^{-\frac32t}+C\,\mathrm{e}^{-\frac32t}$.

Les solutions de $(E)$ sur $[0\,;+\infty[$ sont donc les fonctions

Question 4.

Soit $g_C:t\longmapsto(4t+C)\,\mathrm{e}^{-\frac32t}$ une solution de $(E)$.

On a $g_C(0)=(0+C)\,\mathrm{e}^{0}=C$.

Donc $g_C(0)=0\iff C=0$.

Donc la seule solution de $(E)$ qui s'annule en $0$ est la fonction $f:t\longmapsto4t\,\mathrm{e}^{-\frac32t}$.

Réponse : $f(t)=4t\,\mathrm{e}^{-\frac32t}$ (obtenue pour $C=0$).

Partie B

Question 1.

Pour tout $t>0$, on écrit

On pose $X=\dfrac32t$.

Quand $t$ tend vers $+\infty$, $X$ tend vers $+\infty$.

Par croissances comparées, $\lim\limits_{X\to+\infty}\dfrac{X}{\mathrm{e}^{X}}=0$.

Par limite d'une composée, puis par produit par la constante $\dfrac83$, on obtient

Interprétation : quand le temps écoulé après la prise du comprimé devient grand, la quantité de médicament présente dans le sang tend vers $0$ : le médicament est progressivement éliminé de l'organisme.

Réponse : $\lim\limits_{t\to+\infty}f(t)=0$.

Question 2. a)

La fonction $f$ est dérivable sur $[0\,;+\infty[$ comme produit des fonctions dérivables $u:t\longmapsto4t$ et $w:t\longmapsto\mathrm{e}^{-\frac32t}$.

On a $u'(t)=4$ et $w'(t)=-\dfrac32\,\mathrm{e}^{-\frac32t}$ (dérivée de $\mathrm{e}^{g}$ avec $g(t)=-\dfrac32t$).

D'après la formule $(uw)'=u'w+uw'$, pour tout $t\geqslant0$ :

Donc, pour tout $t\geqslant0$, $f'(t)=(4-6t)\,\mathrm{e}^{-\frac32t}$.

Question 2. b)

Pour tout $t\geqslant0$, $\mathrm{e}^{-\frac32t}>0$, donc $f'(t)$ a le même signe que $4-6t$.

On a $4-6t>0\iff t<\dfrac23$ et $4-6t=0\iff t=\dfrac23$.

Donc $f'(t)>0$ sur $\left[0\,;\dfrac23\right[$, $f'\left(\dfrac23\right)=0$ et $f'(t)<0$ sur $\left]\dfrac23\,;+\infty\right[$.

On calcule les valeurs utiles :

Tableau de variations de $f$ sur $[0\,;+\infty[$ :

• sur $\left[0\,;\dfrac23\right]$, $f$ est strictement croissante, de $f(0)=0$ à $f\left(\dfrac23\right)=\dfrac{8}{3\,\mathrm{e}}\approx0{,}981$

• sur $\left[\dfrac23\,;+\infty\right[$, $f$ est strictement décroissante, de $\dfrac{8}{3\,\mathrm{e}}$ vers $\lim\limits_{t\to+\infty}f(t)=0$.

Question 2. c)

D'après le tableau de variations, la fonction $f$ admet un maximum en $t=\dfrac23$.

Donc la quantité de médicament présente dans le sang est maximale au bout de $\dfrac23$ h, soit $\dfrac23\times60=40$ minutes, et vaut alors environ $0{,}98$ mg.

Réponse : $t=\dfrac23$ h $=40$ min.

Question 3.

On montre que l'équation $f(t)=0{,}5$ admet une unique solution sur $[1\,;3]$.

Sur $[1\,;3]$ :

• $f$ est continue (car dérivable)

• $f$ est strictement décroissante, car $[1\,;3]\subset\left[\dfrac23\,;+\infty\right[$

• $f(1)=4\,\mathrm{e}^{-1{,}5}\approx0{,}893$ et $f(3)=12\,\mathrm{e}^{-4{,}5}\approx0{,}133$, donc $f(3)<0{,}5<f(1)$.

D'après le théorème des valeurs intermédiaires (corollaire pour une fonction continue et strictement monotone), l'équation $f(t)=0{,}5$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[1\,;3]$.

À la calculatrice, on obtient

Comme $f$ est strictement décroissante sur $[1\,;3]$, on en déduit

Réponse : $\alpha$ est l'unique solution de $f(t)=0{,}5$ sur $[1\,;3]$, et $1{,}76<\alpha<1{,}77$ (on a $\alpha\approx1{,}765$).

Question 4.

Condition 1.

Le comprimé contient $1$ mg. La moitié de cette quantité est $0{,}5$ mg : la condition 1 est réalisée si, au plus tard $2$ heures après la prise, la quantité présente dans le sang est inférieure ou égale à $0{,}5$ mg.

D'après la question 3, $f(\alpha)=0{,}5$ avec $\alpha<1{,}77<2$.

La fonction $f$ est strictement décroissante sur $\left[\dfrac23\,;+\infty\right[$, donc pour tout $t\geqslant\alpha$, $f(t)\leqslant f(\alpha)=0{,}5$.

En particulier, comme $2>\alpha$,

Donc la condition 1 est réalisée.

Condition 2.

La quantité moyenne de médicament entre $1$ h et $3$ h est la valeur moyenne de $f$ sur $[1\,;3]$ :

On cherche une primitive de $f$. On pose $F(t)=-\dfrac83\,t\,\mathrm{e}^{-\frac32t}-\dfrac{16}{9}\,\mathrm{e}^{-\frac32t}$.

La fonction $F$ est dérivable sur $[0\,;+\infty[$ et

Donc $F$ est une primitive de $f$ sur $[0\,;+\infty[$.

On calcule l'intégrale :

On en déduit

Or $0{,}442>0{,}40$.

Donc la condition 2 n'est pas réalisée.

Conclusion : la condition 1 est réalisée, la condition 2 ne l'est pas   l'essai clinique n'est donc pas validé.

Réponse : condition 1 réalisée   condition 2 non réalisée ($m\approx0{,}442$ mg $>0{,}40$ mg).

Points clés attendus

• Équation différentielle : solutions de l'équation homogène, équivalence démontrée dans les deux sens entre « $g$ solution de $(E)$ » et « $g-f$ solution de $(E')$ », constante déterminée avec la condition en $0$.

• Limite en $+\infty$ : se ramener à $\dfrac{X}{\mathrm{e}^X}$ avec $X=\dfrac32t$ et citer les croissances comparées   interpréter dans le contexte.

• Dérivée par la formule du produit, signe de $f'$ par celui de $4-6t$, maximum en $t=\dfrac23$ h.

• Théorème des valeurs intermédiaires : continuité, stricte monotonie sur $[1\,;3]$, valeurs aux bornes encadrant $0{,}5$   puis encadrement à $10^{-2}$ près.

• Valeur moyenne sur $[1\,;3]$ : $\dfrac1{3-1}\int_1^3f$, primitive vérifiée par dérivation, comparaison avec $0{,}40$ et conclusion pour chaque condition.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.