Terminale Spé Maths / Chapitre 12 : Succession d'épreuves et loi binomiale / Annales du bac

Bac 2026, Centres étrangers : exercice 2

11 juin 2026 · jour 2 · 4 points

Parmi les habitants âgés d'au moins 15 ans vivant en France, on compte :

$21\;\%$ de personnes de 15 à 29 ans
$46\;\%$ de personnes de 30 à 59 ans
$33\;\%$ de personnes d'au moins 60 ans.

On s'intéresse à l'utilisation d'un réseau social par les habitants âgés d'au moins 15 ans vivant en France. On a ainsi pu observer que :

$70\;\%$ des personnes de 15 à 29 ans ont déjà publié sur ce réseau social
$46\;\%$ des personnes de 30 à 59 ans ont déjà publié sur ce réseau social
$15\;\%$ des personnes d'au moins 60 ans ont déjà publié sur ce réseau social.

On interroge une personne âgée d'au moins 15 ans vivant en France et on lui demande si elle a déjà publié sur ce réseau social.

On note :

$J$ l'événement : « la personne interrogée a entre 15 et 29 ans »
$M$ l'événement : « la personne interrogée a entre 30 et 59 ans »
$S$ l'événement : « la personne interrogée a au moins 60 ans »
$R$ l'événement: « la personne interrogée a déjà publié sur ce réseau social ».

On note $\overline{R}$ l'événement contraire de l'événement $R$ .

Dans tout l'exercice, les valeurs approchées seront arrondies au millième.

Partie A

Recopier et compléter l'arbre de probabilité.
Déterminer $P(M \cap R)$ .

Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
On interroge au hasard une personne âgée d'au moins 15 ans vivant en France.
1. Calculer la probabilité qu'elle ait déjà publié sur ce réseau social.
2. On sait que cette personne a déjà publié sur ce réseau social.
  
  Déterminer la probabilité qu'elle ait au moins 60 ans.

Partie B

Au cours d'un sondage, on interroge successivement, au hasard et de manière indépendante, 100 personnes âgées d'au moins 15 ans vivant en France et on leur demande si elles ont déjà publié sur ce réseau social.

La population du pays est suffisamment grande pour qu'on assimile le choix des personnes sondées à des tirages successifs avec remise.

On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes ayant déjà publié sur ce réseau social parmi ces 100 personnes interrogées.

Dans cette partie, on admet que la probabilité qu'une personne âgée d'au moins 15 ans vivant en France ait déjà publié sur ce réseau social est 0,41.

On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.

Donner ses paramètres.
Calculer la probabilité qu'au moins la moitié des 100 personnes interrogées ait déjà publié sur ce réseau social.
Déterminer l'espérance de la variable aléatoire $X$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

Partie C

On effectue le sondage décrit dans la partie B dans 150 villes françaises en respectant les mêmes conditions.

On note $X_{1}$  , $X_{2}$  , … , $X_{150}$ les variables aléatoires donnant le nombre de personnes ayant déjà publié sur ce réseau social parmi les 100 personnes interrogées dans chacune des 150 villes.

On considère $Y$ la variable aléatoire définie par :

Y=\dfrac{X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{150}}{150}

Démontrer que la probabilité que la variable aléatoire $Y$ soit strictement comprise entre 37 et 45 est strictement supérieure à $98\;\%$ .

Voir le corrigé

Partie A

Question 1.

On traduit les données de l'énoncé en probabilités :

P(J)=0{,}21,\qquad P(M)=0{,}46,\qquad P(S)=0{,}33.

Sachant l'âge de la personne, la probabilité d'avoir publié est :

P_J(R)=0{,}70,\qquad P_M(R)=0{,}46,\qquad P_S(R)=0{,}15.

Les probabilités des événements contraires s'obtiennent par $P_E(\overline{R})=1-P_E(R)$ :

P_J(\overline{R})=0{,}30,\qquad P_M(\overline{R})=0{,}54,\qquad P_S(\overline{R})=0{,}85.

Vérification : $0{,}21+0{,}46+0{,}33=1$ .

Dans l'arbre pondéré, les trois branches issues de la racine portent $0{,}21$ (vers $J$ ), $0{,}46$ (vers $M$ ) et $0{,}33$ (vers $S$ ).

De chacun des sommets $J$ , $M$ , $S$ partent deux branches : vers $R$ avec les probabilités $0{,}70$ , $0{,}46$ et $0{,}15$ respectivement, et vers $\overline{R}$ avec $0{,}30$ , $0{,}54$ et $0{,}85$ respectivement.

Question 2.

On utilise la formule des probabilités composées :

P(M\cap R)=P(M)\times P_M(R)=0{,}46\times0{,}46=0{,}2116.

Donc la probabilité qu'une personne interrogée ait entre 30 et 59 ans et ait déjà publié sur ce réseau social est $0{,}2116$ .

Interprétation : dans la population des personnes d'au moins 15 ans vivant en France, $21{,}16\,\%$ ont entre 30 et 59 ans et ont déjà publié sur ce réseau social.

Réponse : $P(M\cap R)=0{,}2116$ .

Question 3. a)

Les événements $J$ , $M$ et $S$ sont deux à deux incompatibles et leur réunion est l'univers : ils forment une partition de l'univers.

D'après la formule des probabilités totales,

P(R)=P(J\cap R)+P(M\cap R)+P(S\cap R).

On calcule chaque terme :

\begin{aligned} P(J\cap R)&=P(J)\times P_J(R)=0{,}21\times0{,}70=0{,}147,\\ P(M\cap R)&=0{,}2116,\\ P(S\cap R)&=P(S)\times P_S(R)=0{,}33\times0{,}15=0{,}0495. \end{aligned}

On additionne :

P(R)=0{,}147+0{,}2116+0{,}0495=0{,}4081.

Donc la probabilité que la personne interrogée ait déjà publié sur ce réseau social est $0{,}4081$ , soit $0{,}408$ arrondie au millième.

Réponse : $P(R)=0{,}4081\approx0{,}408$ .

Question 3. b)

On cherche la probabilité que la personne ait au moins 60 ans sachant qu'elle a déjà publié, c'est-à-dire $P_R(S)$ .

Par définition de la probabilité conditionnelle (avec $P(R)\neq0$ ),

P_R(S)=\dfrac{P(S\cap R)}{P(R)}=\dfrac{0{,}0495}{0{,}4081}\approx0{,}121.

Donc, sachant qu'une personne a déjà publié sur ce réseau social, la probabilité qu'elle ait au moins 60 ans est environ $0{,}121$ .

Réponse : $P_R(S)\approx0{,}121$ (arrondie au millième).

Partie B

Question 1.

On interroge 100 personnes de manière indépendante, avec assimilation à des tirages avec remise.

Chaque interrogation est une épreuve de Bernoulli, dont le succès est « la personne a déjà publié sur ce réseau social », de probabilité $p=0{,}41$ .

Ces 100 épreuves sont identiques et indépendantes, et $X$ compte le nombre de succès.

Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=0{,}41$ , notée $\mathcal{B}(100\,;\,0{,}41)$ .

Réponse : $n=100$ et $p=0{,}41$ .

Question 2.

« Au moins la moitié des 100 personnes » signifie $X\geqslant50$ .

On a

P(X\geqslant50)=1-P(X\leqslant49).

À la calculatrice, avec la loi $\mathcal{B}(100\,;\,0{,}41)$ , on obtient $P(X\leqslant49)\approx0{,}957$ , donc

P(X\geqslant50)\approx0{,}043.

Donc la probabilité qu'au moins la moitié des 100 personnes interrogées ait déjà publié sur ce réseau social est environ $0{,}043$ .

Réponse : $P(X\geqslant50)\approx0{,}043$ (arrondie au millième).

Question 3.

Pour une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ , l'espérance est $E(X)=np$ .

Donc

E(X)=100\times0{,}41=41.

Interprétation : si l'on répète un grand nombre de fois ce sondage de 100 personnes, le nombre moyen de personnes ayant déjà publié sur ce réseau social est $41$ .

Réponse : $E(X)=41$ .

Partie C

Les variables $X_1,\ldots,X_{150}$ sont indépendantes (les sondages sont effectués dans les mêmes conditions, de manière indépendante) et suivent chacune la loi $\mathcal{B}(100\,;\,0{,}41)$ .

Donc pour tout $i$ :

E(X_i)=41,\qquad V(X_i)=np(1-p)=100\times0{,}41\times0{,}59=24{,}19.

Par linéarité de l'espérance,

E(Y)=\dfrac{1}{150}\times150\times41=41.

Les variables étant indépendantes, la variance de la somme est la somme des variances, et $V(aZ)=a^2V(Z)$ , donc

V(Y)=\dfrac{1}{150^2}\times150\times24{,}19=\dfrac{24{,}19}{150}.

On a l'équivalence

37<Y<45\iff-4<Y-41<4\iff|Y-41|<4.

Son événement contraire est $|Y-41|\geqslant4$ .

On applique l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev à la variable aléatoire $Y$ , d'espérance $41$ et de variance $\dfrac{24{,}19}{150}$ , avec $\delta=4>0$ :

P\left(|Y-41|\geqslant4\right)\leqslant\dfrac{V(Y)}{4^2}=\dfrac{24{,}19}{150\times16}=\dfrac{24{,}19}{2400}\approx0{,}0101.

Or $0{,}0101<0{,}02$ .

On en déduit

P(37<Y<45)=1-P\left(|Y-41|\geqslant4\right)\geqslant1-\dfrac{24{,}19}{2400}>1-0{,}02=0{,}98.

Donc la probabilité que $Y$ soit strictement comprise entre 37 et 45 est strictement supérieure à $98\,\%$ .

Points clés attendus

Citer la formule des probabilités totales en précisant que $J$ , $M$ , $S$ forment une partition de l'univers.
Pour $P_R(S)$ : écrire la définition de la probabilité conditionnelle avant le calcul.
Justifier la loi binomiale : répétition de 100 épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes de probabilité $0{,}41$ .
Partie C : calculer $E(Y)$ et $V(Y)$ en utilisant l'indépendance des $X_i$ .
Traduire $37<Y<45$ par $|Y-41|<4$ puis appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev à l'événement contraire.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.

Comment t'entraîner

Chronomètre-toi, rédige sur papier comme le jour du bac, puis seulement après regarde le cours. Si tu bloques sur une question, écris « on admet que… » et passe à la suivante.

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Revoir le cours

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Source : sujet officiel de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat, session 2026 (Centres étrangers, 11 juin 2026 (jour 2)), ministère de l'Éducation nationale. Énoncé mis en forme pour le web à partir du tapuscrit de l'APMEP (François Kriegk) ; figures issues des fichiers de l'APMEP. En cas de doute sur un détail, le sujet officiel fait foi.

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