Bac 2026, Centres étrangers : exercice 3

Partie A

Question 1.

La fonction $x\mapsto 3x^{2}+2x$ est dérivable sur $[2\,;+\infty[$ et strictement positive sur cet intervalle : en effet, pour $x\geqslant2$, on a $3x^{2}>0$ et $2x>0$.

La fonction $f=\ln\circ u$ avec $u(x)=3x^{2}+2x$ est donc dérivable sur $[2\,;+\infty[$, et d'après la formule de dérivation d'une composée $(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}$, on a, pour tout $x\geqslant2$ :

Pour $x\geqslant2$ :

• $6x+2\geqslant14>0$

• $3x^{2}+2x>0$.

Le quotient $f'(x)$ est donc strictement positif pour tout $x\in[2\,;+\infty[$.

Une fonction dérivable dont la dérivée est strictement positive sur un intervalle est strictement croissante sur cet intervalle.

Donc la fonction $f$ est strictement croissante sur $[2\,;+\infty[$.

Question 2. a)

La fonction $g$ est dérivable sur $[2\,;+\infty[$ comme différence de deux fonctions dérivables, donc elle est continue sur cet intervalle.

On admet que $g$ est strictement décroissante sur $[2\,;+\infty[$.

On calcule la valeur de $g$ en $2$ :

Comme $16>\mathrm{e}^{2}$ (car $\mathrm{e}^{2}\approx7{,}39$), on a $\ln16>2$, donc $g(2)>0$   numériquement $g(2)\approx0{,}773$.

On admet par ailleurs que $\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=-\infty$, donc $g$ prend des valeurs strictement négatives.

Ainsi $0$ est strictement compris entre $\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=-\infty$ et $g(2)>0$.

Les hypothèses du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires sont vérifiées :

• $g$ est continue sur $[2\,;+\infty[$

• $g$ est strictement monotone (décroissante) sur $[2\,;+\infty[$

• $0$ appartient à l'intervalle image $\left]-\infty\,;g(2)\right]$.

Donc l'équation $g(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $[2\,;+\infty[$.

Question 2. b)

À la calculatrice (ou par balayage) :

Comme $g$ est strictement décroissante, $g(4{,}05)<g(\alpha)=0<g(4{,}04)$ entraîne $4{,}04<\alpha<4{,}05$.

On trouve plus précisément $\alpha\approx4{,}0471$.

Réponse : $\alpha\approx4{,}05$ (arrondi au centième).

Question 2. c)

La fonction $g$ est strictement décroissante sur $[2\,;+\infty[$ et $g(\alpha)=0$.

Donc :

• pour $x\in[2\,;\alpha[$, on a $x<\alpha$, donc $g(x)>g(\alpha)=0$

• pour $x=\alpha$, on a $g(\alpha)=0$

• pour $x\in]\alpha\,;+\infty[$, on a $x>\alpha$, donc $g(x)<g(\alpha)=0$.

Donc $g$ est strictement positive sur $[2\,;\alpha[$, nulle en $\alpha$, strictement négative sur $]\alpha\,;+\infty[$.

Partie B

On suppose $2\leqslant a_{0}\leqslant\alpha$. On a $a_{n+1}=f(a_{n})$ pour tout entier naturel $n$.

Question 1.

Pour tout entier naturel $n$, on note $P(n)$ la propriété : $2\leqslant a_{n}\leqslant\alpha$.

Initialisation. Par hypothèse, $2\leqslant a_{0}\leqslant\alpha$ : $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k$ un entier naturel fixé tel que $P(k)$ soit vraie, c'est-à-dire $2\leqslant a_{k}\leqslant\alpha$ (hypothèse de récurrence).

Montrons que $P(k+1)$ est vraie.

La fonction $f$ est strictement croissante sur $[2\,;+\infty[$ (question 1 de la partie A) et $2$, $a_{k}$, $\alpha$ appartiennent à cet intervalle. On peut donc appliquer $f$ aux trois membres de l'inégalité en conservant le sens :

Or :

• $f(2)=\ln16\approx2{,}77$, donc $f(2)\geqslant2$

• $g(\alpha)=0$ s'écrit $f(\alpha)-\alpha=0$, donc $f(\alpha)=\alpha$

• $f(a_{k})=a_{k+1}$.

On obtient donc

soit $2\leqslant a_{k+1}\leqslant\alpha$ : $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$, on a $2\leqslant a_{n}\leqslant\alpha$.

Question 2.

Pour tout entier naturel $n$ :

D'après la question précédente, $a_{n}\in[2\,;\alpha]$.

D'après le tableau de signes de $g$ (question 2. c) de la partie A), $g(x)\geqslant0$ pour tout $x\in[2\,;\alpha]$.

Donc $g(a_{n})\geqslant0$, c'est-à-dire $a_{n+1}-a_{n}\geqslant0$ pour tout $n$.

Donc la suite $(a_{n})$ est croissante.

Question 3.

La suite $(a_{n})$ est croissante (question 2) et majorée par $\alpha$ (question 1).

D'après le théorème de la limite monotone (toute suite croissante et majorée converge), la suite $(a_{n})$ converge.

Question 4.

Notons $\ell$ la limite de la suite $(a_{n})$, qui existe d'après la question 3.

Pour tout $n$, $2\leqslant a_{n}\leqslant\alpha$. Par passage à la limite dans les inégalités larges, $2\leqslant\ell\leqslant\alpha$ : en particulier $\ell\in[2\,;+\infty[$.

La fonction $f$ est continue sur $[2\,;+\infty[$ (car dérivable), et la suite $(a_{n})$ converge vers $\ell$ dans cet intervalle. Donc $f(a_{n})$ converge vers $f(\ell)$.

Or $f(a_{n})=a_{n+1}$ converge vers $\ell$ (suite extraite de $(a_{n})$). Par unicité de la limite :

soit $g(\ell)=0$.

L'équation $g(x)=0$ admet une unique solution sur $[2\,;+\infty[$, à savoir $\alpha$ (question 2. a) de la partie A), et $\ell$ appartient à cet intervalle.

Donc $\ell=\alpha$ : la suite $(a_{n})$ converge vers $\alpha$.

Partie C

Ici $a_{0}=2$, ce qui vérifie bien $2\leqslant a_{0}\leqslant\alpha$ : les résultats de la partie B s'appliquent à $(a_{n})$.

Question 1.

D'après la partie B, pour tout entier naturel $n$, on a $a_{n}\leqslant\alpha$.

La suite $(b_{n})$ est strictement décroissante et converge vers $\alpha$. Une suite décroissante est minorée par sa limite : en effet, si l'on avait $b_{N}<\alpha$ pour un rang $N$, alors, la suite étant décroissante, on aurait $b_{n}\leqslant b_{N}<\alpha$ pour tout $n\geqslant N$, et la limite serait inférieure ou égale à $b_{N}<\alpha$, ce qui est absurde.

Donc $b_{n}\geqslant\alpha$ pour tout $n$.

On en déduit, pour tout entier naturel $n$ :

Donc $a_{n}\leqslant b_{n}$ pour tout entier naturel $n$.

Question 2. a)

Dans le script, à chaque passage dans la boucle, les variables $a$ et $b$ prennent les valeurs $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$, et $n$ augmente de $1$. Au départ, $a=a_{0}=2$, $b=b_{0}=10$ et $n=0$.

Pour algo(2), la boucle continue tant que $b-a>10^{-2}$.

On calcule les valeurs successives de $b_{n}-a_{n}$ :

• $n=0$ : $b-a=8$

• $n=1$ : $a\approx2{,}773$ et $b\approx5{,}768$, donc $b-a\approx2{,}996$

• $n=2$ : $a\approx3{,}354$ et $b\approx4{,}713$, donc $b-a\approx1{,}359$

• $n=3$ : $a\approx3{,}700$ et $b\approx4{,}331$, donc $b-a\approx0{,}631$

• $n=4$ : $a\approx3{,}881$ et $b\approx4{,}174$, donc $b-a\approx0{,}293$

• $n=5$ : $a\approx3{,}969$ et $b\approx4{,}104$, donc $b-a\approx0{,}135$

• $n=6$ : $a\approx4{,}011$ et $b\approx4{,}073$, donc $b-a\approx0{,}062$

• $n=7$ : $a\approx4{,}030$ et $b\approx4{,}059$, donc $b-a\approx0{,}0286$

• $n=8$ : $a\approx4{,}039$ et $b\approx4{,}053$, donc $b-a\approx0{,}0131$

• $n=9$ : $a\approx4{,}0436$ et $b\approx4{,}0496$, donc $b-a\approx0{,}0060$.

Pour $n=0$ à $n=8$, on a $b-a>0{,}01$ : la boucle continue.

Pour $n=9$, on a $b-a\approx0{,}0060\leqslant0{,}01$ : la condition du while n'est plus vérifiée et la boucle s'arrête.

La fonction renvoie alors $n=9$ et $a=a_{9}\approx4{,}0436$, soit $4{,}044$ au millième.

Réponse : algo(2) renvoie $(9\,;\,4{,}044)$.

Question 2. b)

On a vu que $a_{n}\leqslant\alpha\leqslant b_{n}$ pour tout $n$. Donc, pour tout $n$ :

Le script s'arrête au premier rang $n$ tel que $b_{n}-a_{n}\leqslant10^{-2}$, c'est-à-dire pour $n=9$.

Pour ce rang, $0\leqslant\alpha-a_{9}\leqslant b_{9}-a_{9}\leqslant10^{-2}$.

Donc $9$ est le plus petit rang $n$ pour lequel $a_{n}$ est une valeur approchée par défaut de $\alpha$ à $10^{-2}$ près garantie par l'encadrement $a_{n}\leqslant\alpha\leqslant b_{n}$, et la valeur renvoyée $a\approx4{,}044$ est une telle valeur approchée de $\alpha$.

Points clés attendus

• Dériver une composée $\ln u$ et justifier le signe de $f'$ (numérateur et dénominateur strictement positifs).

• Citer le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires avec ses trois hypothèses : continuité, stricte monotonie, valeur $0$ comprise entre $g(2)$ et la limite en $+\infty$.

• Rédiger la récurrence complète en utilisant la croissance de $f$ et la relation $f(\alpha)=\alpha$.

• Nommer le théorème de la limite monotone, puis passer à la limite dans $a_{n+1}=f(a_{n})$ (continuité de $f$) et conclure par unicité de la solution de $g(x)=0$.

• Justifier $a_{n}\leqslant\alpha\leqslant b_{n}$ pour la partie C, et interpréter la sortie de l'algorithme comme un encadrement de $\alpha$.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.