Terminale Spé Maths / Chapitre 13 : Sommes de variables aléatoires et concentration / Annales du bac

Bac 2026, Métropole : exercice 1

16 juin 2026 · jour 1 · 5 points

Un navire assure la liaison entre deux ports de la Méditerranée.

Lors d'une traversée, une famille a la possibilité de réserver une cabine ainsi qu'un emplacement pour un véhicule.

Partie A

Parmi l'ensemble des familles effectuant la traversée, on constate que $30\,\%$ réservent un emplacement pour un véhicule et, parmi ces dernières, $80\,\%$ réservent une cabine.

On sait par ailleurs que $75\,\%$ des familles effectuant la traversée réservent une cabine.

On choisit au hasard une famille effectuant la traversée, et on considère les évènements suivants :

$V$ : « la famille réserve un emplacement pour un véhicule »
$C$ : « la famille réserve une cabine » .

Pour un évènement quelconque $E$ , on désigne par $\overline{E}$ son évènement contraire et par $P(E)$ sa probabilité.

1. Donner $P(C)$ .
2. Reproduire l'arbre ci-contre et compléter les quatre pointillés.
Calculer la probabilité qu'une famille réserve un emplacement pour un véhicule et une cabine.
Une famille a réservé une cabine.

Déterminer la probabilité qu'elle réserve un emplacement pour un véhicule.
Déterminer $P_{\overline{V}}(C)$ .

On arrondira le résultat à $10^{-2}$ .

Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

Partie B

Sur ce trajet, la réservation d'une cabine et d'un emplacement pour un véhicule sont facturés en supplément du coût de la traversée.

Ces suppléments sont d'un montant de :

100 € pour une cabine
70 € pour l'emplacement d'un véhicule.

On suppose qu'une famille peut réserver au maximum une cabine et au maximum un emplacement pour un véhicule.

À ces suppléments peuvent s'ajouter le prix payé pour des extras (repas, boissons, etc.).

On note $X$ la variable aléatoire qui associe, à chaque famille effectuant la traversée, le prix qu'elle paie, en euro, pour les suppléments.

On donne ci-dessous la loi de probabilité de $X$ .

$x_{i}$	0	70	100	170
$P\left(X=x_{i}\right)$	0,19	0,06	0,51	0,24

On note $Y$ la variable aléatoire qui associe, à chaque famille effectuant la traversée, le prix qu'elle paie, en euro, pour les extras.

On admet que la variable aléatoire $Y$ a pour espérance $\mathrm{E}(Y)=104$ et pour variance $\mathrm{V}(Y)=1686$ .

On suppose que les variables $X$ et $Y$ sont indépendantes.

Justifier que $\mathrm{E}(X)=96$ et que $\mathrm{V}(X)=3114$ .
À titre exceptionnel, la compagnie propose une remise de $40\,\%$ sur les suppléments et les extras.

On note $Z$ la variable aléatoire qui, à chaque famille effectuant la traversée, associe le montant total pour les suppléments et les extras, en euro, payé par cette famille après réduction.
1. Justifier que $Z = 0,6(X + Y)$ .
2. En déduire que $\mathrm{E}(Z)=120$ et que $\mathrm{V}(Z)=1728$ ,
  
  où $\mathrm{E}(Z)$ est l'espérance de la variable aléatoire $Z$ et $\mathrm{V}(Z)$ sa variance.
On note $n$ un entier naturel non nul et on choisit au hasard un échantillon de $n$ familles effectuant cette traversée bénéficiant de la réduction exceptionnelle définie en question 2.

On admet que ce choix peut être assimilé à un tirage avec remise.

On désigne par $Z_{1}$ la variable aléatoire égale au prix total pour les suppléments et les extras payé par la première famille, $Z_{2}$ la variable aléatoire égale au prix total pour les suppléments et les extras payé par la deuxième famille et ainsi de suite, $Z_{n}$ la variable aléatoire égale au prix total pour les suppléments et les extras payé par la $n$ -ième famille.

On considère la variable aléatoire $M_{n}=\dfrac{Z_{1}+Z_{2}+\ldots+Z_{n}}{n}$ donnant le prix total moyen pour les suppléments et les extras, payé par ces familles.

On admet que les variables $Z_{1}$  , $Z_{2}$  , …, $Z_{n}$ sont indépendantes et suivent la même loi de probabilité que la variable aléatoire $Z$ .
1. Montrer que l'espérance $\mathrm{E}\big(M_{n}\big)$ de la variable $M_{n}$ est égale à 120, et que sa variance $\mathrm{V}\big(M_{n}\big)$ est égale à $\dfrac{1728}{n}$ .
2. Déterminer le plus petit entier $n$ pour lequel l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev permet d'affirmer que
  $\mathrm{P}\big(114<M_{n}<126\big) \geqslant 0,85.$
  
  Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

Voir le corrigé

Partie A

Question 1. a) L'énoncé indique que $75\,\%$ des familles effectuant la traversée réservent une cabine.

Donc la probabilité qu'une famille choisie au hasard réserve une cabine est $P(C)=0{,}75$ .

Réponse : $P(C)=0{,}75$ .

Question 1. b) Traduisons les données de l'énoncé en probabilités.

$30\,\%$ des familles réservent un emplacement pour un véhicule : $P(V)=0{,}3$ .
L'évènement contraire $\overline{V}$ a pour probabilité $P(\overline{V})=1-P(V)=1-0{,}3=0{,}7$ .
Parmi les familles qui réservent un emplacement, $80\,\%$ réservent une cabine : $P_V(C)=0{,}8$ .
La somme des probabilités des branches issues de $V$ vaut $1$ : $P_V(\overline{C})=1-P_V(C)=1-0{,}8=0{,}2$ .

Donc les quatre pointillés de l'arbre se complètent ainsi :

branche de la racine vers $V$ : $0{,}3$
branche de $V$ vers $C$ : $0{,}8$
branche de $V$ vers $\overline{C}$ : $0{,}2$
branche de la racine vers $\overline{V}$ : $0{,}7$ .

Réponse : $0{,}3$   $0{,}8$   $0{,}2$   $0{,}7$ .

Question 2. On cherche la probabilité de l'évènement $V\cap C$ .

D'après la formule des probabilités conditionnelles,

P(V\cap C)=P(V)\times P_V(C).

On remplace par les valeurs de l'arbre :

P(V\cap C)=0{,}3\times 0{,}8=0{,}24.

Donc la probabilité qu'une famille réserve un emplacement pour un véhicule et une cabine est $0{,}24$ .

Réponse : $P(V\cap C)=0{,}24$ .

Question 3. On cherche la probabilité de $V$ sachant $C$ , c'est-à-dire $P_C(V)$ .

Comme $P(C)=0{,}75\neq 0$ , la définition de la probabilité conditionnelle s'applique :

P_C(V)=\dfrac{P(C\cap V)}{P(C)}.

On a $P(C\cap V)=P(V\cap C)=0{,}24$ et $P(C)=0{,}75$ , donc

P_C(V)=\dfrac{0{,}24}{0{,}75}=0{,}32.

Donc, sachant qu'une famille a réservé une cabine, la probabilité qu'elle réserve aussi un emplacement pour un véhicule est $0{,}32$ .

Réponse : $P_C(V)=0{,}32$ .

Question 4. Les évènements $V$ et $\overline{V}$ forment une partition de l'univers (ils sont incompatibles et leur réunion est l'univers entier).

D'après la formule des probabilités totales,

P(C)=P(V\cap C)+P(\overline{V}\cap C).

On en déduit

P(\overline{V}\cap C)=P(C)-P(V\cap C)=0{,}75-0{,}24=0{,}51.

Comme $P(\overline{V})=0{,}7\neq 0$ , on a

P_{\overline{V}}(C)=\dfrac{P(\overline{V}\cap C)}{P(\overline{V})}=\dfrac{0{,}51}{0{,}7}\approx 0{,}73

(valeur arrondie à

10^{-2}

Donc, parmi les familles qui ne réservent pas d'emplacement pour un véhicule, environ $73\,\%$ réservent une cabine.

Réponse : $P_{\overline{V}}(C)=\dfrac{0{,}51}{0{,}7}=\dfrac{51}{70}\approx 0{,}73$ .

Partie B

Question 1. La loi de $X$ est donnée par le tableau. On calcule l'espérance avec la formule $\mathrm{E}(X)=\sum x_i\,P(X=x_i)$ :

\begin{aligned} \mathrm{E}(X)&=0\times 0{,}19+70\times 0{,}06+100\times 0{,}51+170\times 0{,}24\\ &=0+4{,}2+51+40{,}8\\ &=96. \end{aligned}

On calcule la variance avec la formule de König-Huygens $\mathrm{V}(X)=\mathrm{E}(X^{2})-\mathrm{E}(X)^{2}$ .

On a d'abord

\begin{aligned} \mathrm{E}(X^{2})&=0^{2}\times 0{,}19+70^{2}\times 0{,}06+100^{2}\times 0{,}51+170^{2}\times 0{,}24\\ &=0+294+5100+6936\\ &=12330. \end{aligned}

Donc

\mathrm{V}(X)=12330-96^{2}=12330-9216=3114.

Donc $\mathrm{E}(X)=96$ et $\mathrm{V}(X)=3114$ .

Question 2. a) Une remise de $40\,\%$ multiplie le montant payé par $1-\dfrac{40}{100}=0{,}6$ .

Avant la remise, le montant total payé par une famille pour les suppléments et les extras est $X+Y$ .

Donc, après la remise, le montant payé est $Z=0{,}6\,(X+Y)$ .

Question 2. b) Espérance de $Z$ .

Par linéarité de l'espérance,

\mathrm{E}(Z)=0{,}6\times\big(\mathrm{E}(X)+\mathrm{E}(Y)\big)=0{,}6\times(96+104)=0{,}6\times 200=120.

Variance de $Z$ .

Les variables $X$ et $Y$ sont indépendantes, donc

\mathrm{V}(X+Y)=\mathrm{V}(X)+\mathrm{V}(Y)=3114+1686=4800.

Pour tout réel $a$ , on a $\mathrm{V}(aW)=a^{2}\,\mathrm{V}(W)$ . Donc

\mathrm{V}(Z)=0{,}6^{2}\times\mathrm{V}(X+Y)=0{,}36\times 4800=1728.

Donc $\mathrm{E}(Z)=120$ et $\mathrm{V}(Z)=1728$ .

Question 3. a) On a $M_n=\dfrac{Z_1+Z_2+\cdots+Z_n}{n}$ , et chaque $Z_i$ suit la même loi que $Z$ , donc $\mathrm{E}(Z_i)=120$ et $\mathrm{V}(Z_i)=1728$ .

Espérance. Par linéarité de l'espérance,

\mathrm{E}(M_n)=\dfrac{1}{n}\big(\mathrm{E}(Z_1)+\mathrm{E}(Z_2)+\cdots+\mathrm{E}(Z_n)\big)=\dfrac{n\times 120}{n}=120.

Variance. Les variables $Z_1,\ldots,Z_n$ sont indépendantes, donc la variance de leur somme est la somme des variances. De plus $\mathrm{V}(aW)=a^{2}\mathrm{V}(W)$ avec $a=\dfrac1n$ :

\mathrm{V}(M_n)=\dfrac{1}{n^{2}}\big(\mathrm{V}(Z_1)+\cdots+\mathrm{V}(Z_n)\big)=\dfrac{n\times 1728}{n^{2}}=\dfrac{1728}{n}.

Donc $\mathrm{E}(M_n)=120$ et $\mathrm{V}(M_n)=\dfrac{1728}{n}$ .

Question 3. b) L'inégalité $114<M_n<126$ équivaut à $-6<M_n-120<6$ , c'est-à-dire à $|M_n-120|<6$ .

La variable $M_n$ admet une espérance $\mathrm{E}(M_n)=120$ et une variance $\mathrm{V}(M_n)=\dfrac{1728}{n}$ . L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev s'applique avec $\delta=6>0$ :

P\big(|M_n-120|\geqslant 6\big)\leqslant\dfrac{\mathrm{V}(M_n)}{6^{2}}=\dfrac{1728}{36\,n}=\dfrac{48}{n}.

L'évènement $|M_n-120|<6$ est l'évènement contraire de $|M_n-120|\geqslant 6$ , donc

P\big(114<M_n<126\big)=1-P\big(|M_n-120|\geqslant 6\big)\geqslant 1-\dfrac{48}{n}.

L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev permet donc d'affirmer $P(114<M_n<126)\geqslant 0{,}85$ dès que

1-\dfrac{48}{n}\geqslant 0{,}85\Longleftrightarrow \dfrac{48}{n}\leqslant 0{,}15\Longleftrightarrow n\geqslant\dfrac{48}{0{,}15}=320

(on a multiplié par

n>0

puis divisé par

0{,}15>0

Le plus petit entier convenable est donc $n=320$ .

Interprétation : pour un échantillon d'au moins $320$ familles, la probabilité que le prix total moyen payé pour les suppléments et les extras, après remise, soit compris strictement entre $114$ € et $126$ € est supérieure ou égale à $0{,}85$ .

Réponse : $n=320$ .

Points clés attendus

Nommer les évènements, traduire les données en probabilités et citer la formule des probabilités totales avec la partition $\{V,\overline{V}\}$ .
Distinguer $P_C(V)$ de $P_V(C)$ et préciser l'arrondi demandé en question 4 de la partie A.
Justifier la variance de $X+Y$ par l'indépendance de $X$ et $Y$ , et celle de $M_n$ par l'indépendance des $Z_i$ .
Utiliser $\mathrm{V}(aW)=a^{2}\mathrm{V}(W)$ pour la remise et pour la moyenne.
Citer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev avec son espérance et sa variance, passer à l'évènement contraire, puis résoudre l'inéquation en $n$ et interpréter.

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Comment t'entraîner

Chronomètre-toi, rédige sur papier comme le jour du bac, puis seulement après regarde le cours. Si tu bloques sur une question, écris « on admet que… » et passe à la suivante.

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Source : sujet officiel de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat, session 2026 (Métropole, 16 juin 2026 (jour 1)), ministère de l'Éducation nationale. Énoncé mis en forme pour le web à partir du tapuscrit de l'APMEP (François Kriegk) ; figures issues des fichiers de l'APMEP. En cas de doute sur un détail, le sujet officiel fait foi.

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