Terminale Spé Maths / Chapitre 11 : Orthogonalité et distances dans l'espace / Annales du bac

Bac 2026, Centres étrangers : exercice 1

11 juin 2026 · jour 2 · 4 points

Chapitre 11 : Orthogonalité et distances dans l'espace

L'espace est muni d'un repère orthonormé $\left(\mathrm{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right)$ .

On considère :

les points de l'espace A $(1 ; 0 ; 3)$ , B $(2 ; 1 ;-1)$ , C $(1 ; 1 ; 1)$ et H $(0 ; 2 ; 1)$
le vecteur $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix}4 \\ 4 \\ 2\end{pmatrix}$ .

Démontrer que les points A, B et C définissent un plan de l'espace.
Démontrer que le vecteur $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal au plan (ABC).
Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).
Vérifier que le point H appartient au plan (ABC).
Déterminer la mesure en degré de l'angle $\widehat{\mathrm{BAH}}$ .
Déterminer une représentation paramétrique de la droite $(d)$ orthogonale au plan (ABC) et passant par le point H.
Déterminer les coordonnées du point S $\left(x_{\mathrm{S}} ; y_{\mathrm{S}} ; z_{\mathrm{S}}\right)$ de la droite $(d)$ tel que :
- la distance entre le point S et le plan (ABC) est 6
- son abscisse $x_{\mathrm{S}}$ est positive.

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Question 1.

On calcule les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ :

\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}2-1\\1-0\\-1-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\-4\end{pmatrix},\qquad\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}1-1\\1-0\\1-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\\-2\end{pmatrix}.

Supposons qu'il existe un réel $k$ tel que $\overrightarrow{AB}=k\,\overrightarrow{AC}$ .

La première coordonnée donnerait $1=k\times0=0$ , ce qui est impossible.

Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont donc pas colinéaires.

Par conséquent, les points A, B et C ne sont pas alignés.

Trois points non alignés définissent un unique plan.

Donc les points A, B et C définissent un plan de l'espace, noté (ABC).

Question 2.

Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) (question 1).

Un vecteur est normal à un plan s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan.

On calcule les produits scalaires, avec $\vec{n}\begin{pmatrix}4\\4\\2\end{pmatrix}$ :

\begin{aligned} \vec{n}\cdot\overrightarrow{AB}&=4\times1+4\times1+2\times(-4)=4+4-8=0,\\ \vec{n}\cdot\overrightarrow{AC}&=4\times0+4\times1+2\times(-2)=0+4-4=0. \end{aligned}

Donc le vecteur $\vec{n}$ est orthogonal à $\overrightarrow{AB}$ et à $\overrightarrow{AC}$ .

Donc le vecteur $\vec{n}$ est un vecteur normal au plan (ABC).

Question 3.

Le vecteur $\vec{n}(4\,;\,4\,;\,2)$ est normal au plan (ABC) : ce plan admet donc une équation cartésienne de la forme

4x+4y+2z+d=0,\qquad d\in\mathbb{R}.

Le point A $(1\,;\,0\,;\,3)$ appartient au plan, donc ses coordonnées vérifient l'équation :

4\times1+4\times0+2\times3+d=0\iff10+d=0\iff d=-10.

Une équation cartésienne du plan (ABC) est donc

4x+4y+2z-10=0,\qquad\text{ou encore}\qquad2x+2y+z-5=0.

Vérification avec B $(2\,;\,1\,;\,-1)$ : $4\times2+4\times1+2\times(-1)-10=8+4-2-10=0$ .

Vérification avec C $(1\,;\,1\,;\,1)$ : $4\times1+4\times1+2\times1-10=4+4+2-10=0$ .

Donc une équation cartésienne du plan (ABC) est $2x+2y+z-5=0$ .

Réponse : $4x+4y+2z-10=0$ , soit $2x+2y+z-5=0$ .

Question 4.

On remplace les coordonnées de H $(0\,;\,2\,;\,1)$ dans l'équation $4x+4y+2z-10=0$ :

4\times0+4\times2+2\times1-10=0+8+2-10=0.

Les coordonnées de H vérifient l'équation du plan (ABC).

Donc le point H appartient au plan (ABC).

Question 5.

On calcule les coordonnées de $\overrightarrow{AH}$ :

\overrightarrow{AH}\begin{pmatrix}0-1\\2-0\\1-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\2\\-2\end{pmatrix}.

On calcule le produit scalaire avec $\overrightarrow{AB}(1\,;\,1\,;\,-4)$ :

\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH}=1\times(-1)+1\times2+(-4)\times(-2)=-1+2+8=9.

On calcule les normes :

AB=\sqrt{1^2+1^2+(-4)^2}=\sqrt{18}=3\sqrt{2},\qquad AH=\sqrt{(-1)^2+2^2+(-2)^2}=\sqrt{9}=3.

Le repère est orthonormé : on peut utiliser la formule $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH}=AB\times AH\times\cos\widehat{BAH}$ .

On en déduit

\cos\widehat{BAH}=\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH}}{AB\times AH}=\dfrac{9}{3\sqrt{2}\times3}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.

L'angle $\widehat{BAH}$ est compris entre $0^\circ$ et $180^\circ$ , et le seul angle de cet intervalle de cosinus $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ est $45^\circ$ .

Donc la mesure de l'angle $\widehat{BAH}$ est $45^\circ$ .

Réponse : $\widehat{BAH}=45^\circ$ .

Question 6.

La droite $(d)$ est orthogonale au plan (ABC) : tout vecteur normal à ce plan est un vecteur directeur de $(d)$ .

D'après la question 2, le vecteur $\vec{n}(4\,;\,4\,;\,2)$ dirige $(d)$ , et le vecteur $\vec{n'}(2\,;\,2\,;\,1)=\dfrac{1}{2}\vec{n}$ aussi.

La droite $(d)$ passe par H $(0\,;\,2\,;\,1)$ .

Un point M $(x\,;\,y\,;\,z)$ appartient à $(d)$ si et seulement si il existe un réel $t$ tel que $\overrightarrow{HM}=t\,\vec{n'}$ .

Une représentation paramétrique de $(d)$ est donc

\begin{cases}x=2t\\ y=2+2t\\ z=1+t\end{cases},\qquad t\in\mathbb{R}.

Réponse : $x=2t$ , $y=2+2t$ , $z=1+t$ ( $t\in\mathbb{R}$ ).

Question 7.

Un point S de la droite $(d)$ a des coordonnées de la forme $(2t\,;\,2+2t\,;\,1+t)$ , avec $t\in\mathbb{R}$ .

La distance d'un point S $(x_{\mathrm{S}}\,;\,y_{\mathrm{S}}\,;\,z_{\mathrm{S}})$ à un plan d'équation $ax+by+cz+d=0$ est

\dfrac{|ax_{\mathrm{S}}+by_{\mathrm{S}}+cz_{\mathrm{S}}+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.

Avec le plan d'équation $2x+2y+z-5=0$ , on obtient

d(\mathrm{S},(ABC))=\dfrac{|2\times2t+2(2+2t)+(1+t)-5|}{\sqrt{2^2+2^2+1^2}}=\dfrac{|4t+4+4t+1+t-5|}{3}=\dfrac{|9t|}{3}=3|t|.

La condition $d(\mathrm{S},(ABC))=6$ s'écrit $3|t|=6$ , soit $|t|=2$ , donc $t=2$ ou $t=-2$ .

Pour $t=-2$ , l'abscisse est $x_{\mathrm{S}}=2\times(-2)=-4<0$ : ce point ne convient pas.

Pour $t=2$ , on obtient $x_{\mathrm{S}}=4>0$ , $y_{\mathrm{S}}=2+4=6$ et $z_{\mathrm{S}}=1+2=3$ .

Donc le point cherché est $\mathrm{S}(4\,;\,6\,;\,3)$ .

Réponse : $\mathrm{S}(4\,;\,6\,;\,3)$ .

Points clés attendus

Justifier la non-colinéarité de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ pour affirmer que A, B, C définissent un plan.
Pour un vecteur normal : le montrer orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan.
Pour l'équation cartésienne : déterminer $d$ avec un point du plan, puis vérifier avec les autres points.
Pour l'angle : produit scalaire, normes, cosinus, puis conclusion sur la mesure en degrés.
Pour le point S : paramétrer $(d)$ , appliquer la formule de distance d'un point à un plan, et ne retenir que la valeur de $t$ qui donne une abscisse positive.

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Source : sujet officiel de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat, session 2026 (Centres étrangers, 11 juin 2026 (jour 2)), ministère de l'Éducation nationale. Énoncé mis en forme pour le web à partir du tapuscrit de l'APMEP (François Kriegk) ; figures issues des fichiers de l'APMEP. En cas de doute sur un détail, le sujet officiel fait foi.

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