Bac 2026, Centres étrangers : exercice 4

Partie A

Question.

Les courbes correspondent à des fonctions qui s'annulent ou non en des points identifiables sur le graphique. Les expressions établies dans les parties B, C et D permettent de les identifier :

• $f(x)=\mathrm{e}^{-x}(x-1)(x-2)$ s'annule en $1$ et en $2$ : c'est la courbe $\mathcal{C}_1$

• $f'(x)=\mathrm{e}^{-x}\left(-x^{2}+5x-5\right)$ vaut $-5$ en $0$ : c'est la courbe $\mathcal{C}_3$

• $f''(x)=\mathrm{e}^{-x}\left(x^{2}-7x+10\right)=\mathrm{e}^{-x}(x-2)(x-5)$ s'annule en $2$ et en $5$ : c'est la courbe $\mathcal{C}_2$.

Donc $f$ est associée à $\mathcal{C}_1$, $f'$ à $\mathcal{C}_3$ et $f''$ à $\mathcal{C}_2$.

Réponse : $f=\mathcal{C}_1$, $f'=\mathcal{C}_3$, $f''=\mathcal{C}_2$.

Partie B

Question 1.

La fonction $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme produit de fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$.

On utilise la formule $(uv)'=u'v+uv'$ avec $u(x)=x^{2}-3x$ et $v(x)=\mathrm{e}^{-x}$, donc $u'(x)=2x-3$ et $v'(x)=-\mathrm{e}^{-x}$ :

On en déduit, pour tout réel $x$ :

Donc la fonction $g$ vérifie $g'+g=(2x-3)\mathrm{e}^{-x}$ : c'est une solution particulière de $(E)$.

Question 2.

L'équation $y'+y=0$ s'écrit $y'=-y$, c'est-à-dire $y'=ay$ avec $a=-1$.

Les solutions de l'équation $y'=ay$ sont les fonctions $x\mapsto C\mathrm{e}^{ax}$, avec $C\in\mathbb{R}$.

Donc l'ensemble des solutions de $y'+y=0$ est l'ensemble des fonctions $x\mapsto C\mathrm{e}^{-x}$, avec $C\in\mathbb{R}$.

Question 3.

Les solutions de $(E)$ s'obtiennent en ajoutant à une solution particulière de $(E)$ les solutions de l'équation homogène associée $y'+y=0$.

La fonction $g$ est une solution particulière de $(E)$ (question 1)   on utilise le résultat de la question 2.

Donc l'ensemble des solutions de $(E)$ est l'ensemble des fonctions

Question 4.

Une solution de $(E)$ s'écrit $f(x)=\left(x^{2}-3x+C\right)\mathrm{e}^{-x}$.

On a $f(0)=\left(0-0+C\right)\mathrm{e}^{0}=C$.

La condition $f(0)=2$ donne donc $C=2$.

Donc la solution cherchée est la fonction

Réponse : $f(x)=\mathrm{e}^{-x}\left(x^{2}-3x+2\right)$.

Partie C

Question 1.

Pour tout réel $x$, $\mathrm{e}^{-x}>0$ : le signe de $f(x)$ est donc celui du trinôme $x^{2}-3x+2$.

On a $x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2)$, de racines $1$ et $2$ (le discriminant vaut $9-8=1$).

Le coefficient de $x^{2}$ est strictement positif : le trinôme est strictement positif à l'extérieur des racines et strictement négatif entre les racines.

Donc :

• $f(x)>0$ pour $x\in]-\infty\,;1[\,\cup\,]2\,;+\infty[$

• $f(x)<0$ pour $x\in]1\,;2[$

• $f(1)=f(2)=0$.

Question 2. a)

On a $\lim\limits_{x\to-\infty}\left(x^{2}-3x+2\right)=+\infty$, car $x^{2}$ l'emporte sur $-3x$ en $-\infty$ (on peut écrire $x^{2}-3x+2=x^{2}\left(1-\dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{x^{2}}\right)$ avec $\lim\limits_{x\to-\infty}x^{2}=+\infty$ et $\lim\limits_{x\to-\infty}\left(1-\dfrac{3}{x}+\dfrac{2}{x^{2}}\right)=1$).

On a $\lim\limits_{x\to-\infty}(-x)=+\infty$ et $\lim\limits_{X\to+\infty}\mathrm{e}^{X}=+\infty$, donc par composition $\lim\limits_{x\to-\infty}\mathrm{e}^{-x}=+\infty$.

Par produit de deux fonctions de limite $+\infty$ :

Réponse : $\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=+\infty$.

Question 2. b)

Pour tout réel $x$ :

D'après le théorème des croissances comparées, pour tout entier naturel $n\geqslant1$, $\lim\limits_{x\to+\infty}x^{n}\mathrm{e}^{-x}=0$. Donc :

• $\lim\limits_{x\to+\infty}x^{2}\mathrm{e}^{-x}=0$

• $\lim\limits_{x\to+\infty}x\mathrm{e}^{-x}=0$

• $\lim\limits_{x\to+\infty}\mathrm{e}^{-x}=0$ (limite d'une composée, car $\lim\limits_{x\to+\infty}(-x)=-\infty$ et $\lim\limits_{X\to-\infty}\mathrm{e}^{X}=0$).

Par somme de limites :

Donc la courbe $\mathcal{C}_f$ admet l'axe des abscisses pour asymptote horizontale en $+\infty$.

Réponse : $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=0$.

Question 3. a)

La fonction $f$ est continue sur $[0\,;1]$, donc $I$ est bien définie.

Première intégration par parties. On pose, sur $[0\,;1]$ :

Les fonctions $u$ et $v$ sont de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $[0\,;1]$, donc

On calcule le crochet :

Donc

Seconde intégration par parties. On pose, sur $[0\,;1]$ :

Ces fonctions sont de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $[0\,;1]$, donc

On conclut :

Question 3. b)

D'après la question 1 de la partie C, la fonction $f$ est positive sur $[0\,;1]$ (elle est strictement positive sur $[0\,;1[$ et nulle en $1$), et elle est continue sur cet intervalle.

Donc l'intégrale $I$ est l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$.

Cette aire vaut $1-\dfrac{1}{\mathrm{e}}\approx0{,}63$ unité d'aire.

Réponse : $I=1-\dfrac{1}{\mathrm{e}}\approx0{,}63$ unité d'aire.

Partie D

Question 1.

La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$. D'après la formule $(uv)'=u'v+uv'$ avec $u(x)=x^{2}-3x+2$ et $v(x)=\mathrm{e}^{-x}$ :

La tangente $(T_{a})$ à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $a$ a pour équation

Elle coupe l'axe des ordonnées au point d'abscisse $x=0$, donc d'ordonnée

On calcule :

Donc le point d'intersection de $(T_{a})$ et de l'axe des ordonnées a pour ordonnée $\left(a^{3}-4a^{2}+2a+2\right)\mathrm{e}^{-a}$.

Question 2.

Démarche. La tangente $(T_{a})$ passe par l'origine si et seulement si elle coupe l'axe des ordonnées en $O$, c'est-à-dire si et seulement si son ordonnée à l'origine est nulle. Les tangentes sont en bijection avec leurs points de tangence, donc leur nombre est le nombre de réels $a$ vérifiant cette condition.

D'après la question précédente, la condition s'écrit $\left(a^{3}-4a^{2}+2a+2\right)\mathrm{e}^{-a}=0$.

Comme $\mathrm{e}^{-a}>0$, elle équivaut à $h(a)=0$ avec

Étude de $h$. La fonction $h$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et

Le discriminant de ce trinôme vaut $64-24=40$, donc $h'$ s'annule en

Le coefficient de $a^{2}$ est positif : $h'(a)>0$ pour $a<a_{1}$ et pour $a>a_{2}$, et $h'(a)<0$ pour $a\in]a_{1}\,;a_{2}[$.

Donc $h$ est strictement croissante sur $]-\infty\,;a_{1}]$, strictement décroissante sur $[a_{1}\,;a_{2}]$ et strictement croissante sur $[a_{2}\,;+\infty[$.

On calcule des valeurs :

Les trois valeurs de $h$ en $-1$, $a_{1}$, $4$ donnent les encadrements ci-dessous, avec les hypothèses du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires (continuité de $h$, stricte monotonie sur l'intervalle, $0$ compris entre les valeurs aux bornes) :

• Sur $[-1\,;a_{1}]$, $h$ est continue et strictement croissante, avec $h(-1)=-5<0<h(a_{1})$ : l'équation $h(a)=0$ admet une unique solution sur cet intervalle. Sur $]-\infty\,;-1]$, $h(a)\leqslant h(-1)<0$ : il n'y a pas d'autre solution sur $]-\infty\,;a_{1}]$.

• Sur $[a_{1}\,;a_{2}]$, $h$ est continue et strictement décroissante, avec $h(a_{1})>0>h(a_{2})$ : l'équation $h(a)=0$ admet une unique solution.

• Sur $[a_{2}\,;4]$, $h$ est continue et strictement croissante, avec $h(a_{2})<0<h(4)$ : l'équation $h(a)=0$ admet une unique solution. Sur $[4\,;+\infty[$, $h(a)\geqslant h(4)>0$ : il n'y a pas d'autre solution sur $[a_{2}\,;+\infty[$.

Ces trois intervalles ne se recouvrent pas (les solutions sont distinctes, car $h(a_{1})\neq0$ et $h(a_{2})\neq0$). Donc l'équation $h(a)=0$ admet exactement trois solutions réelles, d'environ $-0{,}48$, $1{,}31$ et $3{,}17$.

À chaque solution correspond une tangente à $\mathcal{C}_f$ passant par l'origine, et ces trois tangentes sont distinctes.

Donc il y a exactement trois tangentes à $\mathcal{C}_f$ passant par l'origine du repère.

Réponse : $3$ tangentes.

Points clés attendus

• Justifier l'identification des courbes par des valeurs ou des zéros caractéristiques, même si aucune justification n'est exigée.

• Pour l'équation différentielle : vérifier que $g'+g=(2x-3)\mathrm{e}^{-x}$, donner l'ensemble des solutions de l'équation homogène, puis la solution générale et la constante grâce à $f(0)=2$.

• Citer les croissances comparées pour la limite en $+\infty$ et lever la forme du produit en $-\infty$.

• Poser explicitement $u$, $u'$, $v$, $v'$ dans chaque intégration par parties et interpréter $I$ comme une aire, la fonction étant positive.

• Pour le nombre de tangentes : traduire la condition par $h(a)=0$, étudier les variations de $h$ et appliquer le théorème des valeurs intermédiaires sur chaque intervalle de stricte monotonie.

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