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Terminale Spé Maths / Chapitre 11 : Orthogonalité et distances dans l'espace / Annales du bac

Bac 2026, Centres étrangers : exercice 3

10 juin 2026 · jour 1 · 4 points

On considère le cube ABCDEFGH représenté ci-dessous.

Figure de l'énoncé, exercice 3, Centres étrangers 10 juin 2026

On munit l'espace du repère orthonormal (A;→tAB,→tAD,→tAE)\left(\mathrm{A};\overrightarrow{}t{AB},\overrightarrow{}t{AD},\overrightarrow{}t{AE}\right).

Soit I le milieu du segment [EF], J le milieu de [EH] et K le milieu de [AE].

  1. Donner les coordonnées des points I, J et K.

    1. Déterminer la valeur du produit scalaire →tAI⋅→tAJ\overrightarrow{}t{AI}\cdot\overrightarrow{}t{AJ}.

    2. En déduire la mesure de l'angle IAJ^\widehat{\mathrm{IAJ}} arrondie au dixième de degré.

    1. Démontrer que le vecteur →tKC\overrightarrow{}t{KC} est un vecteur normal au plan (AIJ).

    2. En déduire qu'une équation cartésienne du plan (AIJ) est  

      x+y−12z=0x+y-\dfrac{1}{2}z=0

  4. Soit L le projeté orthogonal du point C sur le plan (AIJ).

    1. Déterminer les coordonnées du point L.

    2. En déduire que la distance du point C au plan (AIJ) est égale à 43\dfrac{4}{3}.

  5. Soit M un point de la droite (FG).

    On admet que les coordonnées de M sont (1;m;1)(1 ; m ; 1) avec mm appartenant à R\mathbb{R}.

    1. Démontrer qu'une représentation paramétrique de la droite (IM) est

      {x=12s+12y=msz=1avec s∈R\begin{cases} x=\dfrac{1}{2} s+\dfrac{1}{2} \\ y=m s \\ z=1 \end{cases} \quad \text{avec } s \in \mathbb{R}

    2. Peut-on affirmer que les droites (IM) et (KC) sont coplanaires quelle que soit la valeur de mm ?

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Question 1.

Le repère (A;AB→,AD→,AE→)\left(\mathrm{A};\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}\right) est orthonormé et ABCDEFGH est un cube d'arête 11. Donc :

A(0;0;0),B(1;0;0),C(1;1;0),E(0;0;1),F(1;0;1),H(0;1;1).\mathrm{A}(0;0;0),\quad \mathrm{B}(1;0;0),\quad \mathrm{C}(1;1;0),\quad \mathrm{E}(0;0;1),\quad \mathrm{F}(1;0;1),\quad \mathrm{H}(0;1;1).

Le point I est le milieu de [EF][\mathrm{EF}] :

I(0+12;0+02;1+12)=(12;0;1).\mathrm{I}\left(\dfrac{0+1}{2};\dfrac{0+0}{2};\dfrac{1+1}{2}\right)=\left(\dfrac{1}{2};0;1\right).

Le point J est le milieu de [EH][\mathrm{EH}] :

J(0+02;0+12;1+12)=(0;12;1).\mathrm{J}\left(\dfrac{0+0}{2};\dfrac{0+1}{2};\dfrac{1+1}{2}\right)=\left(0;\dfrac{1}{2};1\right).

Le point K est le milieu de [AE][\mathrm{AE}] :

K(0+02;0+02;0+12)=(0;0;12).\mathrm{K}\left(\dfrac{0+0}{2};\dfrac{0+0}{2};\dfrac{0+1}{2}\right)=\left(0;0;\dfrac{1}{2}\right).

Réponse : I(12;0;1)\mathrm{I}\left(\dfrac{1}{2};0;1\right), J(0;12;1)\mathrm{J}\left(0;\dfrac{1}{2};1\right), K(0;0;12)\mathrm{K}\left(0;0;\dfrac{1}{2}\right).

Question 2. a)

On calcule les coordonnées des vecteurs, point par point :

AI→(12−00−01−0)=(1201),AJ→(0−012−01−0)=(0121).\overrightarrow{AI}\begin{pmatrix}\frac{1}{2}-0\\0-0\\1-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\\0\\1\end{pmatrix},\qquad \overrightarrow{AJ}\begin{pmatrix}0-0\\\frac{1}{2}-0\\1-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\\frac{1}{2}\\1\end{pmatrix}.

Le repère est orthonormé : le produit scalaire se calcule avec les coordonnées.

AI→⋅AJ→=12×0+0×12+1×1=1.\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{AJ}=\dfrac{1}{2}\times 0+0\times\dfrac{1}{2}+1\times 1=1.

Réponse : AI→⋅AJ→=1\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{AJ}=1.

Question 2. b)

Le repère est orthonormé, donc :

AI=(12)2+02+12=54=52,AJ=02+(12)2+12=52.AI=\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}+0^{2}+1^{2}}=\sqrt{\dfrac{5}{4}}=\dfrac{\sqrt{5}}{2},\qquad AJ=\sqrt{0^{2}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}+1^{2}}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}.

On a alors AI×AJ=54AI\times AJ=\dfrac{5}{4}.

La définition du produit scalaire donne AI→⋅AJ→=AI×AJ×cos⁡(IAJ^)\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{AJ}=AI\times AJ\times\cos\left(\widehat{\mathrm{IAJ}}\right), donc

cos⁡(IAJ^)=AI→⋅AJ→AI×AJ=154=45.\cos\left(\widehat{\mathrm{IAJ}}\right)=\dfrac{\overrightarrow{AI}\cdot\overrightarrow{AJ}}{AI\times AJ}=\dfrac{1}{\frac{5}{4}}=\dfrac{4}{5}.

L'angle IAJ^\widehat{\mathrm{IAJ}} est compris entre 0∘0^{\circ} et 180∘180^{\circ}, donc

IAJ^=arccos⁡(45)≈36,9∘\widehat{\mathrm{IAJ}}=\arccos\left(\dfrac{4}{5}\right)\approx 36{,}9^{\circ}
(arrondi au dixième de degré).

Réponse : IAJ^≈36,9∘\widehat{\mathrm{IAJ}}\approx 36{,}9^{\circ}.

Question 3. a)

On calcule les coordonnées de KC→\overrightarrow{KC} :

KC→(1−01−00−12)=(11−12).\overrightarrow{KC}\begin{pmatrix}1-0\\1-0\\0-\frac{1}{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\1\\-\frac{1}{2}\end{pmatrix}.

On calcule les produits scalaires avec AI→\overrightarrow{AI} et AJ→\overrightarrow{AJ} :

KC→⋅AI→=1×12+1×0−12×1=12−12=0,\overrightarrow{KC}\cdot\overrightarrow{AI}=1\times\dfrac{1}{2}+1\times 0-\dfrac{1}{2}\times 1=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}=0,
KC→⋅AJ→=1×0+1×12−12×1=12−12=0.\overrightarrow{KC}\cdot\overrightarrow{AJ}=1\times 0+1\times\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\times 1=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}=0.

Les vecteurs AI→\overrightarrow{AI} et AJ→\overrightarrow{AJ} ne sont pas colinéaires : la première coordonnée de AJ→\overrightarrow{AJ} est nulle alors que celle de AI→\overrightarrow{AI} ne l'est pas, et AJ→≠0→\overrightarrow{AJ}\neq\overrightarrow{0}, donc AJ→\overrightarrow{AJ} ne peut pas s'écrire kAI→k\overrightarrow{AI}. Ce sont donc deux vecteurs directeurs non colinéaires du plan (AIJ).

Le vecteur KC→\overrightarrow{KC}, non nul, est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (AIJ), donc à tous les vecteurs de ce plan.

Donc KC→\overrightarrow{KC} est un vecteur normal au plan (AIJ).

Question 3. b)

Le vecteur KC→(11−12)\overrightarrow{KC}\begin{pmatrix}1\\1\\-\frac{1}{2}\end{pmatrix} est normal au plan (AIJ), donc ce plan admet une équation cartésienne de la forme

x+y−12z+d=0,d∈R.x+y-\dfrac{1}{2}z+d=0,\qquad d\in\mathbb{R}.

Le point A(0;0;0)\mathrm{A}(0;0;0) appartient au plan : 0+0−0+d=00+0-0+d=0, donc d=0d=0.

Vérification avec les autres points : pour I(12;0;1)\mathrm{I}\left(\dfrac{1}{2};0;1\right), 12+0−12×1=0\dfrac{1}{2}+0-\dfrac{1}{2}\times 1=0   pour J(0;12;1)\mathrm{J}\left(0;\dfrac{1}{2};1\right), 0+12−12×1=00+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}\times 1=0.

Donc une équation cartésienne du plan (AIJ) est x+y−12z=0x+y-\dfrac{1}{2}z=0.

Question 4. a)

Le point L est le projeté orthogonal de C sur le plan (AIJ) : L appartient au plan et la droite (CL) est orthogonale au plan, donc dirigée par le vecteur normal KC→\overrightarrow{KC}. Il existe donc un réel tt tel que CL→=t KC→\overrightarrow{CL}=t\,\overrightarrow{KC}.

Une représentation paramétrique de la droite passant par C et de vecteur directeur KC→\overrightarrow{KC} est donc

{x=1+ty=1+tz=−t2t∈R.\begin{cases}x=1+t\\y=1+t\\z=-\dfrac{t}{2}\end{cases}\qquad t\in\mathbb{R}.

Le point L appartient aussi au plan d'équation x+y−12z=0x+y-\dfrac{1}{2}z=0. On remplace :

(1+t)+(1+t)−12×(−t2)=0⟺2+2t+t4=0⟺94t=−2⟺t=−89.(1+t)+(1+t)-\dfrac{1}{2}\times\left(-\dfrac{t}{2}\right)=0\Longleftrightarrow 2+2t+\dfrac{t}{4}=0\Longleftrightarrow\dfrac{9}{4}t=-2\Longleftrightarrow t=-\dfrac{8}{9}.

On reporte t=−89t=-\dfrac{8}{9} :

x=1−89=19,y=19,z=−12×(−89)=49.x=1-\dfrac{8}{9}=\dfrac{1}{9},\qquad y=\dfrac{1}{9},\qquad z=-\dfrac{1}{2}\times\left(-\dfrac{8}{9}\right)=\dfrac{4}{9}.

Vérification : 19+19−12×49=29−29=0\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{2}\times\dfrac{4}{9}=\dfrac{2}{9}-\dfrac{2}{9}=0.

Donc L(19;19;49)\mathrm{L}\left(\dfrac{1}{9};\dfrac{1}{9};\dfrac{4}{9}\right).

Réponse : L(19;19;49)\mathrm{L}\left(\dfrac{1}{9};\dfrac{1}{9};\dfrac{4}{9}\right).

Question 4. b)

La distance du point C au plan (AIJ) est la distance CL, car L est le projeté orthogonal de C sur ce plan.

On a CL→(19−119−149−0)=(−89−8949)\overrightarrow{CL}\begin{pmatrix}\frac{1}{9}-1\\\frac{1}{9}-1\\\frac{4}{9}-0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\frac{8}{9}\\-\frac{8}{9}\\\frac{4}{9}\end{pmatrix}. Le repère étant orthonormé :

CL=(89)2+(89)2+(49)2=64+64+1681=1449=129=43.CL=\sqrt{\left(\dfrac{8}{9}\right)^{2}+\left(\dfrac{8}{9}\right)^{2}+\left(\dfrac{4}{9}\right)^{2}}=\sqrt{\dfrac{64+64+16}{81}}=\dfrac{\sqrt{144}}{9}=\dfrac{12}{9}=\dfrac{4}{3}.

Donc la distance du point C au plan (AIJ) est égale à 43\dfrac{4}{3}.

Question 5. a)

Le point M a pour coordonnées (1;m;1)(1;m;1) et I a pour coordonnées (12;0;1)\left(\dfrac{1}{2};0;1\right). On a

IM→(1−12m−01−1)=(12m0).\overrightarrow{IM}\begin{pmatrix}1-\frac{1}{2}\\m-0\\1-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{1}{2}\\m\\0\end{pmatrix}.

Ce vecteur est non nul (sa première coordonnée vaut 12\dfrac{1}{2}), donc I et M sont distincts et (IM) est la droite passant par I, de vecteur directeur IM→\overrightarrow{IM}.

Un point N(x;y;z)\mathrm{N}(x;y;z) appartient à (IM) si et seulement si il existe un réel ss tel que IN→=s IM→\overrightarrow{IN}=s\,\overrightarrow{IM}, c'est-à-dire

{x−12=12sy−0=msz−1=0⟺{x=12s+12y=msz=1s∈R.\begin{cases}x-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}s\\y-0=ms\\z-1=0\end{cases}\Longleftrightarrow\begin{cases}x=\dfrac{1}{2}s+\dfrac{1}{2}\\y=ms\\z=1\end{cases}\qquad s\in\mathbb{R}.

C'est la représentation paramétrique proposée.

Question 5. b)

La droite (KC) passe par K(0;0;12)\mathrm{K}\left(0;0;\dfrac{1}{2}\right) et est dirigée par KC→(11−12)\overrightarrow{KC}\begin{pmatrix}1\\1\\-\frac{1}{2}\end{pmatrix}. Une représentation paramétrique est

{x=ty=tz=12−t2t∈R.\begin{cases}x=t\\y=t\\z=\dfrac{1}{2}-\dfrac{t}{2}\end{cases}\qquad t\in\mathbb{R}.

Deux droites de l'espace sont coplanaires si et seulement si elles sont parallèles ou sécantes.

Parallélisme. Le vecteur IM→\overrightarrow{IM} a une troisième coordonnée nulle, alors que celle de KC→\overrightarrow{KC} vaut −12-\dfrac{1}{2} : ils ne sont pas colinéaires. Les droites (IM) et (KC) ne sont donc jamais parallèles, quelle que soit la valeur de mm.

Intersection. Un point commun correspond à des réels ss et tt vérifiant

{12s+12=tms=t1=12−t2\begin{cases}\dfrac{1}{2}s+\dfrac{1}{2}=t\\ms=t\\1=\dfrac{1}{2}-\dfrac{t}{2}\end{cases}

La troisième équation donne t=−1t=-1. La première donne alors 12s+12=−1\dfrac{1}{2}s+\dfrac{1}{2}=-1, soit s=−3s=-3. La deuxième équation devient −3m=−1-3m=-1, soit m=13m=\dfrac{1}{3}.

Donc (IM) et (KC) sont sécantes si et seulement si m=13m=\dfrac{1}{3} (au point de coordonnées (−1;−1;1)(-1;-1;1)). Pour toute autre valeur de mm, elles ne sont ni parallèles ni sécantes, donc non coplanaires.

Contre-exemple : pour m=0m=0, la droite (IM) a pour équations y=0y=0 et z=1z=1. Le seul point de (KC) de cote 11 est (−1;−1;1)(-1;-1;1), dont l'ordonnée n'est pas nulle : il n'est pas sur (IM). Les droites (IM) et (KC) ne sont ni parallèles ni sécantes.

Donc on ne peut pas affirmer que les droites (IM) et (KC) sont coplanaires quelle que soit la valeur de mm : elles ne le sont que pour m=13m=\dfrac{1}{3}.

Réponse : non   (IM) et (KC) sont coplanaires si et seulement si m=13m=\dfrac{1}{3}.

Points clés attendus

  • Calculer les coordonnées des vecteurs avant tout produit scalaire, en précisant que le repère est orthonormé.

  • Pour un vecteur normal, montrer l'orthogonalité avec deux vecteurs non colinéaires du plan et justifier leur non-colinéarité.

  • Obtenir l'équation du plan par le vecteur normal et un point, puis la vérifier avec d'autres points.

  • Projeté orthogonal : écrire que L est sur la droite passant par C dirigée par le vecteur normal et sur le plan, puis résoudre en tt.

  • Coplanarité de deux droites : distinguer parallèles et sécantes, résoudre le système et conclure par un contre-exemple (par exemple m=0m=0).

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Source : sujet officiel de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat, session 2026 (Centres étrangers, 10 juin 2026 (jour 1)), ministère de l'Éducation nationale. Énoncé mis en forme pour le web à partir du tapuscrit de l'APMEP (François Kriegk) ; figures issues des fichiers de l'APMEP. En cas de doute sur un détail, le sujet officiel fait foi.

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