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Terminale Spé Maths / Chapitre 11 : Orthogonalité et distances dans l'espace / Annales du bac

Bac 2026, Asie : exercice 3

10 juin 2026 · jour 2 · 5 points

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé (O ; ı⃗, ȷ⃗, k⃗)\left(\mathrm{O}\,;\,\vec{\imath},\,\vec{\jmath},\,\vec{k}\right), on considère les points

A(1;2;3),B(−1;3;1),C(2;1;6) et D(3;−2;−1).\mathrm{A}(1 ; 2 ; 3),\quad \mathrm{B}(-1 ; 3 ; 1),\quad \mathrm{C}(2 ; 1 ; 6) \quad \text { et } \quad \mathrm{D}(3 ;-2 ;-1).

    1. Montrer que les points A, B et C définissent un plan.

    2. Montrer que le vecteur n→(141)\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} est normal au plan (ABC).

    3. En déduire une équation cartésienne du plan (ABC).

    1. Déterminer une équation paramétrique de la droite (d)(d), perpendiculaire au plan (ABC) et passant par le point D.

    2. Déterminer les coordonnées du point H qui est le projeté orthogonal du point D sur le plan (ABC).

    3. En déduire que la distance du point D au plan (ABC) est égale à 323\sqrt{2}.

    1. Montrer que

      cos⁡( BAC^ )=−31111\cos\left(\,\widehat{\mathrm{BAC}}\,\right)=-\dfrac{3\sqrt{11}}{11}

    2. En déduire la valeur exacte de sin⁡( BAC^ )\sin\left(\,\widehat{\mathrm{BAC}}\,\right).

    3. Montrer que l'aire du triangle ABC vaut 322\dfrac{3\sqrt{2}}{2}.

  4. Déterminer le volume du tétraèdre ABCD.

    On rappelle que le volume V\mathcal{V} d'un tétraèdre est donné par la formule suivante :

    V=13×B×h , ouˋ B est l’aire d’une base et h la hauteur qui lui est associeˊe.\mathcal{V}=\dfrac{1}{3}\times\mathcal{B}\times h\, ,\quad \text{ où } \mathcal{B}\text{ est l'aire d'une base et } h\text{ la hauteur qui lui est associée.}

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Question 1. a)

On calcule les coordonnées des vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} :

AB→(−1−13−21−3)=(−21−2)etAC→(2−11−26−3)=(1−13).\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix}-1-1\\3-2\\1-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\1\\-2\end{pmatrix}\qquad\text{et}\qquad\overrightarrow{AC}\begin{pmatrix}2-1\\1-2\\6-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\-1\\3\end{pmatrix}.

Ces vecteurs ne sont pas colinéaires : leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles, car

1−2≠−11\dfrac{1}{-2}\neq\dfrac{-1}{1}
(rapport des premières coordonnées −12-\dfrac{1}{2}, rapport des deuxièmes coordonnées −1-1).

Donc les points A, B et C ne sont pas alignés : ils définissent un plan.

Question 1. b)

On calcule les produits scalaires de n⃗(141)\vec{n}\begin{pmatrix}1\\4\\1\end{pmatrix} avec les deux vecteurs précédents :

n⃗⋅AB→=1×(−2)+4×1+1×(−2)=−2+4−2=0\vec{n}\cdot\overrightarrow{AB}=1\times(-2)+4\times 1+1\times(-2)=-2+4-2=0

n⃗⋅AC→=1×1+4×(−1)+1×3=1−4+3=0.\vec{n}\cdot\overrightarrow{AC}=1\times 1+4\times(-1)+1\times 3=1-4+3=0.

Le vecteur n⃗\vec{n} est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) : il est orthogonal à tout vecteur de ce plan.

Donc n⃗\vec{n} est un vecteur normal au plan (ABC).

Question 1. c)

Le plan (ABC) a pour vecteur normal n⃗(141)\vec{n}\begin{pmatrix}1\\4\\1\end{pmatrix}, donc il admet une équation cartésienne de la forme

x+4y+z+d=0,d∈R.x+4y+z+d=0,\qquad d\in\mathbb{R}.

Le point A(1 ;2 ;3)\mathrm{A}(1\,;2\,;3) appartient au plan, donc ses coordonnées vérifient l'équation :

1+4×2+3+d=0⟺12+d=0⟺d=−12.1+4\times 2+3+d=0\Longleftrightarrow 12+d=0\Longleftrightarrow d=-12.

Vérification avec les autres points : pour B, −1+12+1−12=0-1+12+1-12=0   pour C, 2+4+6−12=02+4+6-12=0.

Donc une équation cartésienne du plan (ABC) est

x+4y+z−12=0.x+4y+z-12=0.

Réponse : x+4y+z−12=0x+4y+z-12=0.

Question 2. a)

La droite (d)(d) est perpendiculaire au plan (ABC), donc le vecteur normal n⃗(141)\vec{n}\begin{pmatrix}1\\4\\1\end{pmatrix} est un vecteur directeur de (d)(d).

La droite (d)(d) passe par D(3 ;−2 ;−1)\mathrm{D}(3\,;-2\,;-1). Une représentation paramétrique de (d)(d) est donc :

{x=3+ty=−2+4tz=−1+t,t∈R.\begin{cases}x=3+t\\ y=-2+4t\\ z=-1+t\end{cases},\qquad t\in\mathbb{R}.

Réponse : x=3+tx=3+t, y=−2+4ty=-2+4t, z=−1+tz=-1+t avec t∈Rt\in\mathbb{R}.

Question 2. b)

Le projeté orthogonal H de D sur le plan (ABC) est le point d'intersection de la droite (d)(d) (perpendiculaire au plan passant par D) et du plan (ABC).

Ses coordonnées vérifient à la fois la représentation paramétrique de (d)(d) et l'équation du plan. On remplace xx, yy, zz dans x+4y+z−12=0x+4y+z-12=0 :

(3+t)+4(−2+4t)+(−1+t)−12=0(3+t)+4(-2+4t)+(-1+t)-12=0

3+t−8+16t−1+t−12=03+t-8+16t-1+t-12=0

18t−18=0⟺t=1.18t-18=0\Longleftrightarrow t=1.

On reporte t=1t=1 dans la représentation paramétrique :

x=3+1=4,y=−2+4=2,z=−1+1=0.x=3+1=4,\qquad y=-2+4=2,\qquad z=-1+1=0.

Vérification : 4+4×2+0−12=04+4\times 2+0-12=0, donc H appartient bien au plan (ABC).

Donc H(4 ;2 ;0)\mathrm{H}(4\,;2\,;0).

Réponse : H(4 ;2 ;0)\mathrm{H}(4\,;2\,;0).

Question 2. c)

La distance du point D au plan (ABC) est la distance DH, où H est le projeté orthogonal de D sur ce plan.

On a DH→(4−32−(−2)0−(−1))=(141)\overrightarrow{DH}\begin{pmatrix}4-3\\2-(-2)\\0-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\4\\1\end{pmatrix}, donc :

DH=12+42+12=18=9×2=32.DH=\sqrt{1^{2}+4^{2}+1^{2}}=\sqrt{18}=\sqrt{9\times 2}=3\sqrt{2}.

Donc la distance du point D au plan (ABC) est égale à 323\sqrt{2}.

Question 3. a)

On calcule le produit scalaire et les normes :

AB→⋅AC→=(−2)×1+1×(−1)+(−2)×3=−2−1−6=−9\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=(-2)\times 1+1\times(-1)+(-2)\times 3=-2-1-6=-9

AB=(−2)2+12+(−2)2=9=3AC=12+(−1)2+32=11.AB=\sqrt{(-2)^{2}+1^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{9}=3\qquad AC=\sqrt{1^{2}+(-1)^{2}+3^{2}}=\sqrt{11}.

Comme AB→⋅AC→=AB×AC×cos⁡(BAC^)\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AC\times\cos\left(\widehat{\mathrm{BAC}}\right) :

cos⁡(BAC^)=AB→⋅AC→AB×AC=−9311=−311=−31111.\cos\left(\widehat{\mathrm{BAC}}\right)=\dfrac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}}{AB\times AC}=\dfrac{-9}{3\sqrt{11}}=-\dfrac{3}{\sqrt{11}}=-\dfrac{3\sqrt{11}}{11}.

On a bien cos⁡(BAC^)=−31111\cos\left(\widehat{\mathrm{BAC}}\right)=-\dfrac{3\sqrt{11}}{11}.

Question 3. b)

On a sin⁡2(BAC^)+cos⁡2(BAC^)=1\sin^{2}\left(\widehat{\mathrm{BAC}}\right)+\cos^{2}\left(\widehat{\mathrm{BAC}}\right)=1, avec

cos⁡2(BAC^)=9×11121=911.\cos^{2}\left(\widehat{\mathrm{BAC}}\right)=\dfrac{9\times 11}{121}=\dfrac{9}{11}.

Donc sin⁡2(BAC^)=1−911=211\sin^{2}\left(\widehat{\mathrm{BAC}}\right)=1-\dfrac{9}{11}=\dfrac{2}{11}.

L'angle géométrique BAC^\widehat{\mathrm{BAC}} appartient à [0;π][0 ; \pi], donc son sinus est positif :

sin⁡(BAC^)=211=2×1111=2211.\sin\left(\widehat{\mathrm{BAC}}\right)=\sqrt{\dfrac{2}{11}}=\dfrac{\sqrt{2}\times\sqrt{11}}{11}=\dfrac{\sqrt{22}}{11}.

Réponse : sin⁡(BAC^)=2211\sin\left(\widehat{\mathrm{BAC}}\right)=\dfrac{\sqrt{22}}{11}.

Question 3. c)

L'aire d'un triangle est donnée par A=12×AB×AC×sin⁡(BAC^)\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\times AB\times AC\times\sin\left(\widehat{\mathrm{BAC}}\right).

Donc :

AABC=12×3×11×2211=324222\begin{aligned} \mathcal{A}_{ABC}&=\dfrac{1}{2}\times 3\times\sqrt{11}\times\dfrac{\sqrt{22}}{11}\\ &=\dfrac{3\sqrt{242}}{22} \end{aligned}

Or 242=121×2242=121\times 2, donc 242=112\sqrt{242}=11\sqrt{2} et :

AABC=3×11222=322.\mathcal{A}_{ABC}=\dfrac{3\times 11\sqrt{2}}{22}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}.

Donc l'aire du triangle ABC vaut 322\dfrac{3\sqrt{2}}{2}.

Question 4.

On prend le triangle ABC pour base du tétraèdre : B=322\mathcal{B}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}.

La hauteur associée est la distance du sommet D au plan (ABC), soit h=32h=3\sqrt{2} (question 2. c).

D'après la formule V=13×B×h\mathcal{V}=\dfrac{1}{3}\times\mathcal{B}\times h :

V=13×322×32=13×3×3×22=13×9=3.\mathcal{V}=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\times 3\sqrt{2}=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{3\times 3\times 2}{2}=\dfrac{1}{3}\times 9=3.

Donc le volume du tétraèdre ABCD est égal à 33 (en unités de volume).

Réponse : V=3\mathcal{V}=3.

Points clés attendus

  • Justifier la non-colinéarité de AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} avant d'affirmer que A, B, C définissent un plan.

  • Pour le vecteur normal : orthogonalité avec deux vecteurs non colinéaires du plan.

  • Déterminer dd dans l'équation cartésienne avec un point du plan, et vérifier avec les autres points.

  • Obtenir H comme intersection de (d)(d) et du plan, puis DHDH comme distance au plan.

  • Justifier le signe du sinus (angle dans [0;π][0 ; \pi]) et simplifier 242\sqrt{242}.

  • Identifier la base et la hauteur correspondante dans la formule du volume.

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Source : sujet officiel de l'épreuve de spécialité mathématiques du baccalauréat, session 2026 (Asie, 10 juin 2026 (jour 2)), ministère de l'Éducation nationale. Énoncé mis en forme pour le web à partir du tapuscrit de l'APMEP (François Kriegk) ; figures issues des fichiers de l'APMEP. En cas de doute sur un détail, le sujet officiel fait foi.

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