Bac 2026, Asie : exercice 1

Partie A

Question 1.

La fonction $f$ est une fonction rationnelle, donc dérivable sur tout intervalle où son dénominateur ne s'annule pas.

Or $2x-3=0\Longleftrightarrow x=\dfrac{3}{2}$, valeur qui n'appartient pas à $\left]-\infty ; \dfrac{3}{2}\right[$.

Donc $f$ est dérivable sur $\left]-\infty ; \dfrac{3}{2}\right[$.

On applique la formule de dérivation d'un quotient $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$ avec $u(x)=x-2$, $u'(x)=1$, $v(x)=2x-3$, $v'(x)=2$.

Pour tout $x\in\left]-\infty ; \dfrac{3}{2}\right[$ :

Un carré non nul est strictement positif, donc $f'(x)>0$ pour tout $x$ de l'intervalle.

Donc $f$ est strictement croissante sur $\left]-\infty ; \dfrac{3}{2}\right[$.

Limite en $-\infty$. Pour $x\neq 0$, on factorise par $x$ au numérateur et au dénominateur :

Or $\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{2}{x}=0$ et $\lim\limits_{x\to-\infty}\dfrac{3}{x}=0$.

Par quotient de limites (le dénominateur tend vers $2\neq 0$) :

Limite en $\dfrac{3}{2}$ par valeurs inférieures.

Au numérateur : $\lim\limits_{x\to\frac{3}{2}}(x-2)=\dfrac{3}{2}-2=-\dfrac{1}{2}$.

Au dénominateur : $\lim\limits_{x\to\frac{3}{2}}(2x-3)=0$, et pour $x<\dfrac{3}{2}$ on a $2x-3<0$, donc le dénominateur tend vers $0^{-}$.

Le numérateur tend vers un réel strictement négatif et le dénominateur vers $0$ par valeurs négatives : par quotient de limites, le quotient est positif et tend vers l'infini.

Le tableau de variation est ainsi justifié : $f$ est strictement croissante sur $\left]-\infty ; \dfrac{3}{2}\right[$, de limite $\dfrac{1}{2}$ en $-\infty$ à la limite $+\infty$ en $\dfrac{3}{2}^{-}$ (la droite d'équation $x=\dfrac{3}{2}$ est asymptote verticale).

Question 2.

On calcule les images des bornes de l'intervalle $[0 ; 1]$, qui est contenu dans $\left]-\infty ; \dfrac{3}{2}\right[$ :

Soit $x\in[0 ; 1]$.

On a $0\leqslant x\leqslant 1$ et $f$ est croissante sur $\left]-\infty ; \dfrac{3}{2}\right[$, donc sur $[0 ; 1]$. On peut donc composer chaque membre par $f$ en conservant le sens des inégalités :

Comme $[\,2/3 ; 1\,]\subset[0 ; 1]$, on a $f(x)\in[0 ; 1]$.

Donc pour tout $x\in[0 ; 1]$, $f(x)\in[0 ; 1]$.

Partie B

Question 1.

Pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=\dfrac{u_n-2}{2u_n-3}=f(u_n)$.

Pour tout entier naturel $n$, on pose $P(n)$ : « $0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant 1$ ».

Initialisation. On a $u_0=0$ et $u_1=f(0)=\dfrac{2}{3}$.

Donc $0\leqslant u_0\leqslant u_1\leqslant 1$ : $P(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k$ un entier naturel fixé tel que $P(k)$ soit vraie, c'est-à-dire

Montrons $P(k+1)$ : $0\leqslant u_{k+1}\leqslant u_{k+2}\leqslant 1$.

Les réels $u_k$ et $u_{k+1}$ appartiennent à $[0 ; 1]$, intervalle sur lequel $f$ est définie et strictement croissante (Partie A, question 1).

On applique $f$ aux trois membres de l'inégalité $u_k\leqslant u_{k+1}$ en conservant le sens :

De plus, $u_{k+1}\in[0 ; 1]$, donc d'après la Partie A, question 2, $f(u_{k+1})\in[0 ; 1]$, c'est-à-dire $0\leqslant u_{k+2}\leqslant 1$.

Par ailleurs, l'hypothèse de récurrence donne $0\leqslant u_{k+1}$.

On obtient $0\leqslant u_{k+1}\leqslant u_{k+2}\leqslant 1$ : $P(k+1)$ est vraie.

Conclusion. $P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$,

Question 2.

D'après la question précédente, $u_n\leqslant u_{n+1}$ pour tout $n$ : la suite $(u_n)$ est croissante.

De plus, $u_n\leqslant 1$ pour tout $n$ : la suite $(u_n)$ est majorée par $1$.

D'après le théorème de la limite monotone (toute suite croissante et majorée converge), la suite $(u_n)$ converge.

Donc la suite $(u_n)$ est convergente.

Question 3.

On admet que $\ell$ est solution de $f(x)=x$ sur $[0 ; 1]$. Pour $x\in[0 ; 1]$, on a $2x-3\neq 0$, donc :

L'équation $f(x)=x$ admet donc pour unique solution $x=1$, qui appartient bien à $[0 ; 1]$.

Donc $\ell=1$.

Question 4.

La fonction seuil(h) calcule les termes de la suite un à un et s'arrête dès que $u\geqslant 1-h$, c'est-à-dire dès que $1-u_n\leqslant h$. Elle renvoie le rang $n$ correspondant, qui est le plus petit entier tel que $u_n\geqslant 1-h$.

Pour $h=0{,}0001=10^{-4}$, la valeur renvoyée $5000$ signifie que $5000$ est le plus petit rang $n$ tel que $u_n\geqslant 0{,}9999$.

Autrement dit, $u_{5000}$ est le premier terme de la suite dont l'écart avec la limite $1$ est inférieur ou égal à $10^{-4}$, et tous les termes suivants le restent puisque la suite est croissante.

Question 5. a)

On calcule $u_1=f(0)=\dfrac{2}{3}$, puis :

Réponse : $u_0=0$, $u_1=\dfrac{2}{3}$, $u_2=\dfrac{4}{5}$, $u_3=\dfrac{6}{7}$ (fractions irréductibles).

Question 5. b)

Les quatre premiers termes sont $\dfrac{0}{1}$, $\dfrac{2}{3}$, $\dfrac{4}{5}$, $\dfrac{6}{7}$ : le numérateur vaut $2n$ et le dénominateur $2n+1$.

On conjecture donc que, pour tout entier naturel $n$ :

Démontrons-le par récurrence. Pour tout entier naturel $n$, on pose $Q(n)$ : « $u_n=\dfrac{2n}{2n+1}$ ».

Initialisation. Pour $n=0$ : $\dfrac{2\times 0}{2\times 0+1}=0=u_0$. $Q(0)$ est vraie.

Hérédité. Soit $k$ un entier naturel fixé tel que $Q(k)$ soit vraie, c'est-à-dire $u_k=\dfrac{2k}{2k+1}$ (hypothèse de récurrence).

Montrons $Q(k+1)$ : $u_{k+1}=\dfrac{2(k+1)}{2(k+1)+1}$.

On a, par définition de la suite puis par hypothèse de récurrence :

On multiplie le numérateur et le dénominateur par $2k+1$, qui est non nul :

$Q(k+1)$ est vraie.

Conclusion. $Q(0)$ est vraie et $Q$ est héréditaire : d'après le principe de récurrence, pour tout entier naturel $n$,

Cohérence avec la question 4. On a $1-u_n=\dfrac{1}{2n+1}$, donc :

Le plus petit entier convenable est $n=5000$, ce qui correspond à la valeur renvoyée par seuil(0.0001).

Points clés attendus

• Justifier chaque élément du tableau : signe de la dérivée, limite en $-\infty$ (factorisation), limite en $\dfrac{3}{2}^{-}$ (signe du dénominateur).

• Rédiger la récurrence en citant la croissance de $f$ sur $[0 ; 1]$ et le résultat de la question A.2.

• Nommer le théorème de la limite monotone et vérifier ses deux hypothèses (croissante, majorée).

• Résoudre $f(x)=x$ jusqu'à $2(x-1)^{2}=0$ pour conclure $\ell=1$.

• Interpréter le rôle de la fonction seuil : plus petit rang tel que $u_n\geqslant 1-h$.

• Démontrer la formule conjecturée par une seconde récurrence.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.