Bac 2026, Asie : exercice 2

Partie A

Question 1.

Chaque lancer-franc est une épreuve de Bernoulli : deux issues seulement, le succès (« le lancer est réussi ») de probabilité $0{,}492$ et l'échec de probabilité $1-0{,}492=0{,}508$.

D'après l'énoncé, les conditions des lancers sont identiques et les lancers sont indépendants deux à deux.

Le joueur répète donc $16$ fois, de façon identique et indépendante, la même épreuve de Bernoulli de paramètre $0{,}492$, et $X$ compte le nombre de succès.

Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=16$ et $p=0{,}492$ :

Question 2.

Pour une loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;\,p)$, l'espérance vaut $np$. Donc :

Interprétation : si le joueur tentait $16$ lancers-francs lors d'un très grand nombre de matchs, il en réussirait en moyenne environ $7{,}872$ par match, soit un peu moins de $8$.

Réponse : $E(X)=7{,}872$.

Question 3.

On applique la formule de la loi binomiale $P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$ avec $n=16$, $k=5$ :

Avec $\binom{16}{5}=4368$, on obtient $P(X=5)\approx 0{,}0732$, soit, arrondie au millième :

Donc la probabilité que le joueur réussisse exactement $5$ lancers-francs est environ $0{,}073$.

Réponse : $P(X=5)\approx 0{,}073$.

Question 4.

L'évènement « réussir au moins six lancers-francs » s'écrit $\{X\geqslant 6\}$. Son évènement contraire est $\{X\leqslant 5\}$.

Donc :

À la calculatrice, $P(X\leqslant 5)\approx 0{,}1173$, d'où :

Arrondie au millième, la probabilité que le joueur réussisse au moins six lancers-francs est $0{,}883$.

Réponse : $P(X\geqslant 6)\approx 0{,}883$.

Partie B

Question 1.

Le joueur effectue $3$ lancers : il peut en réussir aucun, un, deux ou trois.

Donc $Y$ prend les valeurs $0$, $1$, $2$ et $3$.

Question 2.

Les trois lancers sont des épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, de probabilité de succès $p$.

Donc $Y$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(3\,;\,p)$, et :

Réponse : $P(Y=2)=3p^{2}(1-p)$.

Question 3.

Avec la même formule $P(Y=k)=\binom{3}{k}p^{k}(1-p)^{3-k}$ pour $k\in\{0\,;1\,;2\,;3\}$, la loi de probabilité de $Y$ est donnée par le tableau suivant, présenté ici ligne par ligne (valeur $k$ de $Y$, puis probabilité $P(Y=k)$) :

• $k=0$ : $P(Y=0)=\binom{3}{0}(1-p)^{3}=(1-p)^{3}$

• $k=1$ : $P(Y=1)=\binom{3}{1}p(1-p)^{2}=3p(1-p)^{2}$

• $k=2$ : $P(Y=2)=3p^{2}(1-p)$

• $k=3$ : $P(Y=3)=\binom{3}{3}p^{3}=p^{3}$

Question 4.

On a $\{Y\geqslant 2\}=\{Y=2\}\cup\{Y=3\}$, réunion de deux évènements incompatibles.

Donc :

On a bien $P(Y\geqslant 2)=-2p^{3}+3p^{2}$.

Question 5. a)

La fonction $f$ est une fonction polynôme, donc dérivable sur $[0 ; 1]$.

Pour tout $x\in[0 ; 1]$ :

Pour $x\in\,]0 ; 1[$, on a $6>0$, $x>0$ et $1-x>0$, donc $f'(x)>0$. De plus $f'(0)=f'(1)=0$.

Donc $f$ est strictement croissante sur $[0 ; 1]$ (la dérivée est strictement positive sauf en deux points isolés).

Valeurs aux bornes :

Tableau de variation : $f$ est strictement croissante sur $[0 ; 1]$, de $f(0)=0$ à $f(1)=1$.

Question 5. b)

La fonction $f$ est continue sur $[0 ; 1]$ (polynôme) et strictement croissante sur $[0 ; 1]$.

De plus $f(0)=0<0{,}9<1=f(1)$, donc $0{,}9$ est compris entre $f(0)$ et $f(1)$.

D'après le théorème des valeurs intermédiaires (corollaire pour les fonctions continues et strictement monotones, ou théorème de la bijection), l'équation $f(x)=0{,}9$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[0 ; 1]$.

Question 5. c)

À la calculatrice (par balayage de la table de valeurs de $f$) :

Comme $f$ est strictement croissante, $f(0{,}80)<f(\alpha)<f(0{,}81)$ entraîne $0{,}80<\alpha<0{,}81$.

Un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$ est donc :

Question 5. d)

D'après la question 4, $f(p)=P(Y\geqslant 2)$ est la probabilité que le joueur réussisse au moins deux lancers-francs sur trois lorsque sa probabilité de réussite d'un lancer est $p$.

La fonction $f$ étant strictement croissante, on a $f(p)>0{,}9\Longleftrightarrow p>\alpha$.

Donc le joueur réussit au moins deux lancers-francs sur trois avec une probabilité supérieure à $0{,}9$ si et seulement si sa probabilité de réussite d'un lancer-franc est strictement supérieure à $\alpha$, c'est-à-dire supérieure à environ $0{,}80$ ($\alpha\approx 0{,}804$).

Points clés attendus

• Justifier la loi binomiale : répétition d'épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, avec les paramètres $n$ et $p$.

• Utiliser l'évènement contraire pour $P(X\geqslant 6)$ et préciser l'arrondi au millième.

• Établir $P(Y\geqslant 2)=P(Y=2)+P(Y=3)$ avant de développer.

• Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires en vérifiant continuité, stricte monotonie et encadrement de $0{,}9$ par $f(0)$ et $f(1)$.

• Interpréter $\alpha$ comme seuil de probabilité de réussite d'un lancer.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.