Bac 2026, Amérique du Nord : exercice 1

Partie A

Question 1.

D'après l'énoncé, $60\,\%$ du stock provient du fournisseur A, donc

Les évènements $A$ et $B$ sont contraires (une tomate provient de A ou de B, et pas des deux), donc

Parmi les tomates du fournisseur A, $95\,\%$ sont commercialisables, donc

Par évènement contraire,

On complète donc l'arbre de la manière suivante :

• branche $A$ : $0{,}6$

• branche $B$ : $0{,}4$

• branche $A\to C$ : $0{,}95$

• branche $A\to\overline{C}$ : $0{,}05$.

Donc les pointillés de l'arbre sont complétés par $0{,}6$, $0{,}4$, $0{,}95$ et $0{,}05$.

Question 2. a)

On cherche $P(A\cap C)$.

D'après la formule de la probabilité conditionnelle,

On remplace par les valeurs de l'énoncé :

Donc la probabilité que la tomate choisie soit commercialisable et provienne du fournisseur A est $0{,}57$.

Réponse : $P(A\cap C)=0{,}57$.

Question 2. b)

Les évènements $A$ et $B$ forment une partition de l'univers : ils sont incompatibles et leur réunion est l'univers entier, avec $P(A)\neq0$ et $P(B)\neq0$.

D'après la formule des probabilités totales,

L'énoncé donne $P(C)=0{,}91$, et la question précédente donne $P(A\cap C)=0{,}57$. Donc

Comme $P(B)=0{,}4\neq0$, la probabilité conditionnelle de $C$ sachant $B$ est définie et

Donc $P_B(C)=0{,}85$, ce qui est le résultat demandé.

Question 2. c)

On cherche à comparer $P_{\overline{C}}(A)$ et $P_{\overline{C}}(B)$.

D'après l'énoncé, $P(C)=0{,}91$, donc

On calcule les probabilités des intersections avec $\overline{C}$ :

(Vérification : $0{,}03+0{,}06=0{,}09=P(\overline{C})$, conformément à la formule des probabilités totales.)

Comme $P(\overline{C})\neq0$, on peut écrire

On remarque que

Donc, sachant que la tomate n'est pas commercialisable, il y a deux fois moins de chances qu'elle provienne du fournisseur A que du fournisseur B : le responsable des achats a raison.

Réponse : $P_{\overline{C}}(A)=\dfrac13$ et $P_{\overline{C}}(B)=\dfrac23$   oui, le responsable a raison.

Partie B

Question 1. a)

On répète $15$ fois la même épreuve : prélever une tomate et regarder si elle est non commercialisable.

Cette épreuve est une épreuve de Bernoulli : deux issues, « la tomate n'est pas commercialisable » (succès) de probabilité $p=0{,}09$, ou son contraire.

Les $15$ prélèvements sont identiques et indépendants (tirage assimilé à un tirage avec remise, d'après l'énoncé).

Donc $X$, qui compte le nombre de succès, suit la loi binomiale de paramètres $n=15$ et $p=0{,}09$.

Réponse : $X\sim\mathcal{B}(15\,;0{,}09)$.

Question 1. b)

D'après la formule de la loi binomiale, pour $k=2$ :

À la calculatrice,

donc, arrondie au millième, $P(X=2)\approx0{,}250$.

Donc la probabilité qu'exactement deux tomates soient non commercialisables est environ $0{,}250$.

Réponse : $P(X=2)\approx0{,}250$.

Question 1. c)

L'évènement « au plus deux tomates non commercialisables » est $(X\leqslant2)$.

Les évènements $(X=0)$, $(X=1)$ et $(X=2)$ sont incompatibles, donc

À la calculatrice,

On obtient $P(X\leqslant2)\approx0{,}8531$, soit, arrondie au millième, $0{,}853$.

Donc la probabilité qu'au plus deux tomates soient non commercialisables est environ $0{,}853$.

Réponse : $P(X\leqslant2)\approx0{,}853$.

Question 2. a)

La variable $X_n$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n\,;0{,}09)$, donc

On a $F_n=\dfrac{X_n}{n}=\dfrac1n\,X_n$. Par linéarité de l'espérance,

Pour la variance, on utilise $V(aX)=a^{2}V(X)$ avec $a=\dfrac1n$ :

Donc $E(F_n)=0{,}09$ et $V(F_n)=\dfrac{0{,}0819}{n}$.

Réponse : $E(F_n)=0{,}09$   $V(F_n)=\dfrac{0{,}0819}{n}$.

Question 2. b)

On commence par traduire l'encadrement. On a l'équivalence

Comme $E(F_n)=0{,}09$, cet évènement est $\left(|F_n-E(F_n)|<0{,}05\right)$.

La variable aléatoire $F_n$ admet une espérance et une variance. D'après l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, pour tout réel $\delta>0$,

On l'applique avec $\delta=0{,}05$ :

L'évènement $\left(0{,}04<F_n<0{,}14\right)$ est le contraire de $\left(|F_n-0{,}09|\geqslant0{,}05\right)$, donc

Donc $P(0{,}04<F_n<0{,}14)\geqslant1-\dfrac{32{,}76}{n}$.

Question 2. c)

Pour $n=500$, la fréquence observée de tomates non commercialisables est

On a $0{,}04<0{,}11<0{,}14$ : cette fréquence appartient à l'intervalle $]0{,}04\,;0{,}14[$.

D'après la question précédente, avec $n=500$, la probabilité que la fréquence appartienne à cet intervalle vérifie

Donc cette probabilité est supérieure à $0{,}934$ : il est très probable d'observer une fréquence dans cet intervalle, et la fréquence observée $0{,}11$ en fait partie.

Donc le résultat obtenu par le responsable des achats ($55$ tomates non commercialisables sur $500$) est conforme à ce qu'il pouvait attendre.

Réponse : oui, conforme ($f=0{,}11\in]0{,}04\,;0{,}14[$, intervalle de probabilité au moins $0{,}934$).

Points clés attendus

• Traduire les données en probabilités ($P(A)$, $P_A(C)$, $P(C)$) et citer la formule des probabilités totales avec la partition $\{A,B\}$.

• Pour la question 2. c), calculer $P_{\overline{C}}(A)$ et $P_{\overline{C}}(B)$ puis les comparer par un calcul, avec une conclusion explicite.

• Justifier la loi binomiale : répétition de $15$ épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, de probabilité de succès $0{,}09$.

• Calculer $E(F_n)$ et $V(F_n)$ à partir de $E(X_n)$ et $V(X_n)$, avec $V(aX)=a^{2}V(X)$.

• Appliquer l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev à $F_n$ avec $\delta=0{,}05$, puis passer à l'évènement contraire.

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.