Bac 2026, Amérique du Nord : exercice 3

Question 1.

Le vecteur $\vec{u}\,(2\,;1\,;2)$, formé des coefficients de $t$, est un vecteur directeur de $\Delta$.

Le point C. Pour $t=0$, la représentation paramétrique donne $(1\,;1\,;1)$, ce sont les coordonnées de C. Donc C appartient à $\Delta$.

Le point A. Si A$(4\,;2\,;2)$ appartenait à $\Delta$, il existerait un réel $t$ tel que

La première équation donne $t=\dfrac32$, la deuxième donne $t=1$ : ces valeurs sont différentes, donc le système n'a pas de solution.

Donc la droite $\Delta$ contient le point C mais pas le point A.

Question 2. a)

Le plan $\mathcal{P}$ est perpendiculaire à la droite $\Delta$, donc un vecteur directeur de $\Delta$ est un vecteur normal à $\mathcal{P}$. Ainsi $\vec{u}\,(2\,;1\,;2)$ est normal à $\mathcal{P}$.

Un plan de vecteur normal $(2\,;1\,;2)$ a une équation cartésienne de la forme

Le plan $\mathcal{P}$ contient A$(4\,;2\,;2)$, donc

Donc une équation cartésienne de $\mathcal{P}$ est $2x+y+2z-14=0$.

Question 2. b)

Le point B$(5\,;-2\,;3)$. On calcule $2\times5+(-2)+2\times3-14=10-2+6-14=0$. Donc B appartient à $\mathcal{P}$.

Le point C$(1\,;1\,;1)$. On calcule $2\times1+1+2\times1-14=2+1+2-14=-9\neq0$. Donc C n'appartient pas à $\mathcal{P}$.

Donc le plan $\mathcal{P}$ contient le point B mais pas le point C.

Question 3. a)

Le projeté orthogonal de C sur $\mathcal{P}$ est l'unique point de $\mathcal{P}$ tel que la droite passant par C et ce point soit orthogonale à $\mathcal{P}$. Il suffit donc de vérifier deux choses pour D$(3\,;2\,;3)$.

D appartient à $\mathcal{P}$. On a $2\times3+2+2\times3-14=6+2+6-14=0$.

(CD) est orthogonale à $\mathcal{P}$. On a

Ce vecteur est normal à $\mathcal{P}$, donc la droite (CD) est orthogonale à $\mathcal{P}$.

Donc D est le projeté orthogonal de C sur le plan $\mathcal{P}$.

Question 3. b)

On a A, B et D dans $\mathcal{P}$ (d'après 2. a), 2. b) et 3. a)).

On calcule les coordonnées des vecteurs :

Ces vecteurs ne sont pas colinéaires : la deuxième coordonnée de $\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ est nulle alors que celle de $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ ne l'est pas, tandis que leurs premières coordonnées sont non nulles. Donc A, B et D ne sont pas alignés et déterminent un unique plan, qui est donc $\mathcal{P}$.

Si les points A, B, C, D étaient coplanaires, C appartiendrait au plan (ABD) $=\mathcal{P}$. Or C n'appartient pas à $\mathcal{P}$ d'après 2. b).

Donc les points A, B, C et D ne sont pas coplanaires.

Question 3. c)

On utilise l'expression du produit scalaire dans un repère orthonormé :

Donc $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AD}}=0$.

Réponse : $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AD}}=0$.

Question 3. d)

On prend pour base le triangle ABD, situé dans $\mathcal{P}$.

D'après la question précédente, $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\perp\overrightarrow{\mathrm{AD}}$ : le triangle ABD est rectangle en A. On calcule

L'aire de la base est donc

La droite (CD) est orthogonale à $\mathcal{P}$ et D appartient à $\mathcal{P}$ : la hauteur du tétraèdre relative à la base ABD est

D'après la formule du volume, $V=\dfrac13\times B\times h$ :

Donc le volume du tétraèdre ABCD est $3$ unités de volume.

Réponse : $V=3$.

Question 4. a)

On vérifie que H appartient à (BC), puis que (AH) est orthogonale à (BC).

On calcule $\overrightarrow{\mathrm{BC}}\,(1-5\,;1-(-2)\,;1-3)=(-4\,;3\,;-2)$.

Avec H$\left(\dfrac{73}{29}\,;\dfrac{-4}{29}\,;\dfrac{51}{29}\right)$, on a

Les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{BH}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ sont colinéaires : H appartient à la droite (BC).

On calcule ensuite

Donc H est un point de (BC) tel que (AH) soit orthogonale à (BC) : H est le projeté orthogonal de A sur (BC).

Question 4. b)

D'après la question précédente, [AH] est la hauteur du triangle ABC issue de A, donc

On calcule

Pour AH, on a $43^{2}+62^{2}+7^{2}=1849+3844+49=5742=9\times638=9\times29\times22$, donc

On obtient

Donc l'aire du triangle ABC est $\dfrac{3\sqrt{22}}{2}$.

Question 4. c)

On calcule le volume du tétraèdre ABCD en prenant cette fois ABC pour base. La hauteur relative à cette base est la distance $d$ du point D au plan (ABC), et

Le volume ne dépend pas de la base choisie : $V=3$ d'après 3. d). Donc

d'où

Donc la distance du point D au plan (ABC) est $\dfrac{3\sqrt{22}}{11}\approx1{,}28$ (arrondie au centième).

Réponse : $d(\mathrm{D},(\mathrm{ABC}))=\dfrac{3\sqrt{22}}{11}\approx1{,}28$.

Points clés attendus

• Utiliser le vecteur directeur de $\Delta$ comme vecteur normal à $\mathcal{P}$, puis déterminer $d$ avec les coordonnées de A.

• Pour le projeté orthogonal, vérifier les deux conditions : D appartient au plan et $\overrightarrow{\mathrm{CD}}$ est normal au plan.

• Justifier la non-coplanarité : A, B, D définissent le plan $\mathcal{P}$ et C n'y appartient pas.

• Pour H, vérifier à la fois la colinéarité de $\overrightarrow{\mathrm{BH}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ et l'orthogonalité de $\overrightarrow{\mathrm{AH}}$ et $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$.

• Citer la formule du volume $V=\dfrac13Bh$ avec deux bases différentes pour en déduire la distance de D au plan (ABC).

Corrigé rédigé par + qu'un prof. Cherche d'abord seul, puis compare avec ta propre rédaction.