Bac 2026, Amérique du Nord : exercice 3

Partie A

Question 1. La base ABCD est un carré de centre O, de côté $2$ cm. Le repère $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{\mathrm{OI}},\overrightarrow{\mathrm{OJ}},\overrightarrow{\mathrm{OK}}\right)$ est tel que I$(1\,;0\,;0)$ et J$(0\,;1\,;0)$, avec C$(1\,;1\,;0)$ et B$(-1\,;1\,;0)$.

Les diagonales d'un carré se coupent en leur milieu, qui est O. Donc O est le milieu de [AC] et de [BD], c'est-à-dire

Donc A$(-1\,;-1\,;0)$ et D$(1\,;-1\,;0)$.

Réponse : A$(-1\,;-1\,;0)$ et D$(1\,;-1\,;0)$.

Question 2. On a S$(0\,;0\,;2)$, C$(1\,;1\,;0)$ et B$(-1\,;1\,;0)$.

Calculons les coordonnées des vecteurs :

Le repère est orthonormé : le produit scalaire se calcule avec les coordonnées.

Donc $\overrightarrow{\mathrm{SC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{SB}}=4$.

Réponse : $\overrightarrow{\mathrm{SC}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{SB}}=4$.

Question 3. Calculons les normes dans le repère orthonormé :

On utilise l'expression du produit scalaire avec le cosinus :

D'où

L'angle $\widehat{\mathrm{BSC}}$ est compris entre $0^\circ$ et $180^\circ$, donc $\widehat{\mathrm{BSC}}=\arccos\dfrac23\approx48{,}19^\circ$.

Donc la mesure de l'angle $\widehat{\mathrm{BSC}}$ est environ $48{,}2^\circ$, arrondie au dixième de degré.

Réponse : $\widehat{\mathrm{BSC}}\approx48{,}2^\circ$.

Partie B

Question 1. a) Les vecteurs $\overrightarrow{\mathrm{SB}}(-1\,;1\,;-2)$ et $\overrightarrow{\mathrm{SC}}(1\,;1\,;-2)$ appartiennent au plan (SBC).

Ils ne sont pas colinéaires : si $\overrightarrow{\mathrm{SB}}=k\,\overrightarrow{\mathrm{SC}}$, la coordonnée en $x$ donne $-1=k\times1$, donc $k=-1$, mais la coordonnée en $y$ donne $1=k\times1=-1$, ce qui est faux. Ils dirigent donc le plan (SBC).

Calculons les produits scalaires avec $\vec n(0\,;2\,;1)$ :

Le vecteur $\vec n$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (SBC) : il est orthogonal à tout vecteur de ce plan.

Donc $\vec n$ est un vecteur normal au plan (SBC).

Question 1. b) Le plan (SBC) admet $\vec n(0\,;2\,;1)$ pour vecteur normal : une équation cartésienne est de la forme $0\times x+2y+z+d=0$, soit $2y+z+d=0$, avec $d$ réel.

Le point S$(0\,;0\,;2)$ appartient au plan, donc $2\times0+2+d=0$, d'où $d=-2$.

Donc une équation cartésienne de (SBC) est $2y+z-2=0$.

Vérification avec les autres points : pour B$(-1\,;1\,;0)$, $2\times1+0-2=0$   pour C$(1\,;1\,;0)$, $2\times1+0-2=0$.

Question 2. a) H est le projeté orthogonal de O sur le plan (SBC). Donc la droite (OH) passe par O et est perpendiculaire au plan (SBC) : le vecteur normal $\vec n(0\,;2\,;1)$ est un vecteur directeur de (OH).

Un point M$(x\,;y\,;z)$ appartient à (OH) si et seulement si $\overrightarrow{\mathrm{OM}}=t\,\vec n$ avec $t\in\mathbb{R}$ (car O$(0\,;0\,;0)$).

Donc une représentation paramétrique de (OH) est

Question 2. b) Le point H est l'intersection de la droite (OH) et du plan (SBC). Ses coordonnées vérifient à la fois la représentation paramétrique et l'équation $2y+z-2=0$.

On remplace : $2\times(2t)+t-2=0$, soit $5t=2$, d'où $t=\dfrac25$.

On en déduit $x=0$, $y=2\times\dfrac25=\dfrac45$ et $z=\dfrac25$.

Donc H$\left(0\,;\dfrac45\,;\dfrac25\right)$.

Réponse : H$\left(0\,;\dfrac45\,;\dfrac25\right)$.

Question 2. c) H est le projeté orthogonal de O sur le plan (SBC) : la distance de O au plan (SBC) est la longueur OH.

Le repère est orthonormé :

Donc la distance du point O au plan (SBC) est $\dfrac{2\sqrt5}{5}$ cm.

Partie C

Question 1. a) La base ABCD est un carré de côté $2$ cm : son aire est $2\times2=4$ cm$^2$. La hauteur de la pyramide SABCD est OS $=2$ cm (S se projette orthogonalement en O sur le plan de la base).

D'après la formule du volume d'une pyramide :

Donc le volume de la pyramide SABCD est $\dfrac83$ cm$^3$.

Réponse : $V(\mathrm{SABCD})=\dfrac83$ cm$^3$.

Question 1. b) La pyramide SABCD est la réunion de quatre pyramides de sommet O, de bases respectives les faces latérales SAB, SBC, SCD et SDA, et ces pyramides n'ont en commun que des faces.

Une rotation de $90^\circ$ autour de l'axe (OS) transforme le carré ABCD en lui-même et laisse S fixe : elle échange ces quatre pyramides, qui ont donc le même volume.

Donc

Vérification directe : on prend OBC pour base. Le triangle OBC a pour base BC $=2$ et pour hauteur OJ $=1$ (J milieu de [BC]), donc son aire est $\dfrac12\times2\times1=1$ cm$^2$. La hauteur issue de S est SO $=2$ cm, car (SO) est perpendiculaire au plan (OBC) qui est le plan de la base. Donc $V=\dfrac13\times1\times2=\dfrac23$.

Donc le volume de la pyramide OCBS est $\dfrac23$ cm$^3$.

Question 2. Le triangle SBC est isocèle en S, car SB $=$ SC $=\sqrt6$ (partie A). Donc la médiane [SJ] issue de S, avec J milieu de [BC], est aussi la hauteur issue de S.

Calculons SJ, avec J$(0\,;1\,;0)$ et S$(0\,;0\,;2)$ :

Comme BC $=2$, l'aire du triangle SBC est

Donc l'aire du triangle SBC est $\sqrt5$ cm$^2$.

Réponse : $\mathcal{A}(\mathrm{SBC})=\sqrt5$ cm$^2$.

Question 3. La pyramide OCBS peut aussi être vue comme la pyramide de base le triangle SBC et de sommet O. Sa hauteur est alors la distance $d$ de O au plan (SBC).

D'après la formule du volume :

Or $V(\mathrm{OCBS})=\dfrac23$ (question 1. b). Donc $\dfrac{\sqrt5}{3}\,d=\dfrac23$, soit

Donc la distance du point O au plan (SBC) est $\dfrac{2\sqrt5}{5}$ cm, ce qui est bien le résultat de la partie B.

Points clés attendus

• Calculer les vecteurs coordonnée par coordonnée et utiliser que le repère est orthonormé pour le produit scalaire et les normes.

• Pour un vecteur normal : justifier que deux vecteurs du plan sont non colinéaires et orthogonaux à $\vec n$.

• Déterminer $d$ dans l'équation cartésienne avec les coordonnées d'un point du plan, et vérifier avec un autre point.

• Pour H : intersection de la droite perpendiculaire et du plan, puis distance $\mathrm{OH}$.

• Citer la formule du volume d'une pyramide, utilisée dans deux configurations différentes (deux bases, deux hauteurs).

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